Aufgabe:
Sei G=S(ℝ) die Symmetrische Gruppe.
Beh.: U={f:ℝ→ℝ bijektiv mit f(x)=x für alle x < 0} ist eine Untergruppe von G
Problem/Ansatz:
U={S(ℝ): ∀ x<0: f(x)=x}
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, worauf die x>0 abgebildet werden, also ob das beliebig ist, oder ob die nicht abgebildet werden. Aber weil die Funktion von ℝ und nicht von ℝ>0 abbildet, müssten diese Elemente ja auch abgebildet werden. Dadurch könnte ich eventuell ein Gegenbeispiel konstruieren, bei dem ich eine negative Zahl mit einer positiven Zahl verknüpfe. Seien a,b ∈ ℝ>0 beliebig: f(–a) o f(b), sodass mein Ergebnis nicht abgeschlossen ist. Oder ich verknüpfe zwei negative Zahlen und erhalte eine positive Zahl: f(–a) o f(–b), dann habe ich f(–a)→–a und f(–b)→–b.
Ein weiteres Problem ist: Da ich die gleiche Funktion habe, verstehe ich noch nicht, wie die Verknüpfung aussieht. Ich habe ja normalerweise zwei unterschiedliche Funktionen und nicht zwei unterschiedliche Elemente. Bei der Verknüpfung mit negativen Zahlen wäre, wenn ich das so machen darf: f((–a)•(–b))=f(ab)≠f(–a) o f(–b). Allerdings weiß ich auch nicht, was f(–a) o f(–b) ist, also ob das dann einfach (–a)•(–b)=ab ist, wobei dann bei der vorherigen Gleichung nicht klar ist, ob folgendes gilt: f((–a)•(–b))=f(ab)≠f(–a) o f(–b)= (–a)•(–b)=ab, weil ich ja nicht weiß ob die positiven Zahlen auch auf sich selbst abgebildet werden, also ob f(ab)=ab ist.
Ich hoffe man konnte verstehen, was ich meine. Aber vielleicht ist mein Ansatz auch komplett falsch.
