Integralrechnung - Parameter ermitteln

Question

- Für welchen Wert des Parameters a > 0 (a ∈ ℝ) hat die vom Graohen der Funktion f(x) = -a*(x^2-1) und der x-Achse eingeschlossenen Fläche den Inhalt 2?

- Zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = (1/3)*x^3+a^2 (a > 0) und der x-Achse liegen über dem Intervall [0;1] eine Fläche.

a) Fertigen Sie für a = 1 eine Skizze an. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche für a=1.

b) Für welchen Wert von a wird der Inhalt der Fläche minimal?

Comments

Ich möchte kurz anmerken, dass die von ihnen durchgeführte Rechnung nicht ganz richtig ist. Beim Zusammenfassen der Klammer erhält man -4/3 und nicht -2/3.

Answer 1

Zunächst Bestimmung der Nullstellen:

f ( x ) = - a * ( x ² - 1 ) = 0

<=> a = 0 oder x ² - 1 = 0

a = 0 ist keine Lösung der Aufgabe, da f ( x ) und damit auch die eingeschlossene Fläche mit der x-Achse dann konstant gleich Null ist. also:

<=> x ² = 1

<=> x = - 1 oder x = 1

Also: Unabhängig vom Parameter a liegen die Nullstellen (also die Integrationsgrenzen) bei -1 und 1. Daher Lösungsansatz:

$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ -a({ x }^{ 2 }-1)dx=2 }$$

$$\Leftrightarrow -a\int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }-1dx=2 }$$

$$\Leftrightarrow \int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }-1dx=\frac { -2 }{ a } }$$

$$\Leftrightarrow { \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-x \right] }_{ -1 }^{ 1 }=\frac { -2 }{ a }$$

$$\Leftrightarrow \left[ \frac { 1 }{ 3 } -1 \right] -\left[ -\frac { 1 }{ 3 } +1 \right] =\frac { -2 }{ a }$$

$$\Leftrightarrow \frac { -2 }{ 3 } =\frac { -2 }{ a }$$

$$\Leftrightarrow a=3$$

 

zu a)

Die Skizze sollte etwa so aussehen::

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x³%2F3%2B1%C2%B2from-2to2

Der Inhalt A der Fläche für a = 1 ist:

$$A=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1dx }$$

$$={ \left[ \frac { 1 }{ 12 } { x }^{ 4 }+x \right] }_{ 0 }^{ 1 }$$

$$=\left[ \frac { 1 }{ 12 } +1 \right] -\left[ 0 \right]$$

$$=\frac { 13 }{ 12 }$$

 

zu b)

Integriert man f ( x ) = ( 1 / 3 ) x ³ + a ² in den Grenzen x = 0 bis x = 1, so erhält man die vom Parameter a abhängige  Flächeninhaltsfunktion:

A ( a ) = ( 1 / 12 ) + a ²

Diese ist, wie man auch ohne Berechnung erkennen kann, dann am kleinsten, wenn a ² am kleinsten ist. Wegen a ² ≥ 0 für alle a ist das der Fall für a = 0. Der Flächeninhalt ist dann gleich 1 / 12.

Für die Berechnung setzt man die nach a abgeleitete Funktion A ( a ) gleich Null und löst nach a auf:

A ' ( a ) = 2 a = 0

<=> a = 0

Da die zweite Ableitung A ' ' ( a ) = 2 überall, also auch aqn der Stelle a = 0 positiv ist, liegt an der Stelle a= 0 also tatsächlich ein Minimum vor.

Answer 2

f(x) = - a·(x² - 1)

F(x) = - a·(x³/3 - x)

Nullstellen f(x) = 0

- a·(x² - 1) = a·(x + 1)·(1 - x) = 0 --> x = -1 oder x = 1

∫ (-1 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(-1) = 2/3·a - (- 2/3·a) = 4/3·a = 2 --> a = 3/2 = 1.5