Zunächst Bestimmung der Nullstellen:
f ( x ) = - a * ( x 2 - 1 ) = 0
<=> a = 0 oder x 2 - 1 = 0
a = 0 ist keine Lösung der Aufgabe, da f ( x ) und damit auch die eingeschlossene Fläche mit der x-Achse dann konstant gleich Null ist. also:
<=> x 2 = 1
<=> x = - 1 oder x = 1
Also: Unabhängig vom Parameter a liegen die Nullstellen (also die Integrationsgrenzen) bei -1 und 1. Daher Lösungsansatz:
$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ -a({ x }^{ 2 }-1)dx=2 }$$
$$\Leftrightarrow -a\int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }-1dx=2 }$$
$$\Leftrightarrow \int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }-1dx=\frac { -2 }{ a } }$$
$$\Leftrightarrow { \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-x \right] }_{ -1 }^{ 1 }=\frac { -2 }{ a }$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac { 1 }{ 3 } -1 \right] -\left[ -\frac { 1 }{ 3 } +1 \right] =\frac { -2 }{ a }$$
$$\Leftrightarrow \frac { -2 }{ 3 } =\frac { -2 }{ a }$$
$$\Leftrightarrow a=3$$
zu a)
Die Skizze sollte etwa so aussehen::
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3%2F3%2B1%C2%B2from-2to2
Der Inhalt A der Fläche für a = 1 ist:
$$A=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1dx }$$
$$={ \left[ \frac { 1 }{ 12 } { x }^{ 4 }+x \right] }_{ 0 }^{ 1 }$$
$$=\left[ \frac { 1 }{ 12 } +1 \right] -\left[ 0 \right]$$
$$=\frac { 13 }{ 12 }$$
zu b)
Integriert man f ( x ) = ( 1 / 3 ) x 3 + a 2 in den Grenzen x = 0 bis x = 1, so erhält man die vom Parameter a abhängige Flächeninhaltsfunktion:
A ( a ) = ( 1 / 12 ) + a 2
Diese ist, wie man auch ohne Berechnung erkennen kann, dann am kleinsten, wenn a 2 am kleinsten ist. Wegen a 2 ≥ 0 für alle a ist das der Fall für a = 0. Der Flächeninhalt ist dann gleich 1 / 12.
Für die Berechnung setzt man die nach a abgeleitete Funktion A ( a ) gleich Null und löst nach a auf:
A ' ( a ) = 2 a = 0
<=> a = 0
Da die zweite Ableitung A ' ' ( a ) = 2 überall, also auch aqn der Stelle a = 0 positiv ist, liegt an der Stelle a= 0 also tatsächlich ein Minimum vor.
