Im Grunde sollst du das zeigen:
\(\lim a_n=x \) und \(\lim a_n=y \) \(\quad \Rightarrow \quad x=y\).
Die Voraussetzung ist ja
\(\lim a_n=x \) und \(\lim a_n=y \), d.h., es existieren Grenzwerte. Dann kann man doch per Definition jeweils schreiben:
\(\exists \ N_1\in \mathbb{N} \ \forall \ n\geq N_1: |a_n-x|<\varepsilon\) und
\(\exists \ N_2\in \mathbb{N} \ \forall \ n\geq N_2: |a_n-y|<\varepsilon\), wobei bei beiden \(\varepsilon >0 \) beliebig.
Definiere also \(N:=\max(N_1,N_2)\) und man hat damit
\(|a_N-x|<\varepsilon \) und \(|a_N-y|<\varepsilon \).
Jetzt kann man mit der Dreiecksungleichung arbeiten:
\(|x-y|\leq |a_N-x|+|a_N-y|=2\cdot \varepsilon\quad \) (**).
Da hier \(\varepsilon \) beliebig ist, kannst Du (Du musst) dir hier ein ,,schönes'' \(\varepsilon=...\) bauen, um gerade mit (**) einen Widerspruch zu erzeugen. Dieses kann man so wählen, sodass man |x-y|<|x-y| erhält. Und das ist ein Widerspruch.
