Finde eine Formel für Wurzel 1 + Wurzel 2 + Wurzel 3 + ...

Question

Aufgabe:

Gibt es eine Formel oder Funktion für:

$$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} = \sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...\sqrt{n}$$

wie diese hier?

$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} = 1+2+3+...n$$

Answer 1

Du kannst diese Summe nur approximieren und zwar durch

$$ \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \approx \frac{2}{3} n \sqrt{n} + \frac{\sqrt{n}}{2} +\zeta \left(-\frac{1}{2} \right)  $$

\( \zeta() \) ist die Riemannsche Zetafunktion

siehe https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=102888

Comments

Als Ergänzung:
Mithilfe der Hurwitzschen Zetafunktion erreicht man insbesondere für 'kleine' n eine bessere Approximation. 

Ich gehe allerdings nicht davon aus, dass man für solche n überhaupt an einer Näherung interessiert ist.