Vektoren linear abhängig .

Question

Für welche λ ∈ R sind die Vektoren (2,λ,3) , (1, -1, 2) , (-λ , 4, -3) ∈ R³  linear abhängig ? 
Stellen Sie für diese λ den letzten Vektor als Linearkombination der ersten beiden dar .

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Vom Duplikat:

Titel: Für welche λ ∈ ℝ sind die Vektoren linear abhängig?

Stichworte: vektoren,parameter,abhängig,lineare

Für welche λ ∈ ℝ sind die Vektoren \( \begin{pmatrix} 2\\λ\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -λ\\4\\-3 \end{pmatrix} \)  ∈ ℝ³ linear abhängig?

Stellen Sie für diese λ den letzten Vektor als Linearkombination der ersten beiden dar.

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Und wir sollen jetzt deine Übung machen?

Answer 1

Die Vektoren sind linerabhängig, wenn es Zahlen \( a, b, c \ne 0 \in \mathbb{R} \) gibt, mit

$$  a \begin{pmatrix} 2 \\ \lambda \\ 3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} -\lambda \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = 0  $$

Das Gleichungssystem kann man auch schreiben als

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -\lambda \\ \lambda & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Nicht triviale Lösungen gibt es, wenn $$ \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -\lambda \\ \lambda & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix} \ne 0 $$ ist.

Es gilt $$ \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -\lambda \\ \lambda & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix} = 2 - 2 \lambda^2 \ne 0 $$ also $$  \lambda \ne \pm 1 $$

Answer 2

Aloha :)

Die Determinante gibt das Volumen an, das die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren aufspannen. Wenn dieses Volumen \(=0\) ist, spannen die Vektoren kein Volumen auf und müssen daher linear abhängig sein:

$$\left|\begin{array}{r}2 & \lambda & 3\\1 & -1 & 2\\-\lambda & 4 & -3\end{array}\right|=2(3-8)-(-3\lambda-12)-\lambda(2\lambda+3)=2-2\lambda^2=2(1-\lambda)(1+\lambda)$$Linear abhängig sind die Vektoren daher für \(\lambda=\pm1\).

Für diese Fälle soll der letzte Vektor durch die ersten beiden ausgedrückt werden:

$$\begin{pmatrix}-1\\4\\-3\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$Wir wählen den Gauß-Algorithmus:$$\begin{array}{r}x & y & = &\mathrm{Op}\\\hline2 & 1 & -1 & -2Z_2\\1 & -1 & 4 & \\3 & 2 & -3 & -3Z_2\\\hline0 & 3 &-9 & :3\\1 & -1 & 4\\0 &5 &-15 & :5\\\hline0 & 1 & -3\\1 & -1 & 4 &+Z_1\\0 & 1 & -3\\\hline0 & 1 & -3\\1 & 0 & 1\end{array}\quad;\quad\begin{array}{r}x & y & = &\mathrm{Op}\\\hline2 & 1 & 1 & +2Z_2\\-1 & -1 & 4 &\cdot(-1)\\3 & 2 & -3 & +3Z_2\\\hline0 &-1 &9 &\cdot(-1)\\1 & 1 & -4 &+Z_1\\0 &-1 &9 &\cdot(-1)\\\hline0 & 1 & -9\\1 & 0 &5\end{array}$$Damit haben wir gefunden:

$$\begin{pmatrix}-1\\4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}-9\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$

Answer 3

Siehe https://www.mathelounge.de/727953/vektoren-linear-abhangig