Zeigen Sie, dass dann für x ∈ K und n,m ∈ Z gilt: (x^n)^m = x^n.m

Question

Sei K ein Körper. Für x ∈ K − {0} und n ∈ N definieren wir x^-n := (x^-1)ⁿ und erklären damit xⁿ für n ∈ Z. Zeigen Sie, dass dann für x ∈ K und n,m ∈ Z gilt: (xⁿ)^m = x^n.m

Bitte helfen Sie mir, die Aufgabe zu lösen

Comments

Für n,m aus ℕ habt ihr es schon bewiesen ?

Answer 1

Unterscheide in die Fälle m=0, m>0 und m<0. Für m=0 zeigt sich sofort, dass es gilt. Für m>0 kannst du es mittels vollständiger Induktion beweisen:

Induktionsanfang: $$(x^n)^1=x^n=x^{n\cdot1}$$

Induktionsvoraussetzung: $$(x^n)^m= x^{n\cdot m}$$

Induktionsschluss: $$(x^n)^{m+1}=(x^n)^m \cdot x^n \underset{\text{IV}}{=} x^{nm} \cdot x^n = x^{nm+n} =x^{n(m+1)}$$

Für den Fall, dass m<0 ist kannst du -m'=m wieder als eine natürliche Zahl annehmen und es für deine Definition von negativen Exponenten nutzen. Auch dazu kannst du analog einen Induktionsbeweis verwenden, ähnlich dem vorherigen.

Comments

Danke für die einfache Erklärung.

Eine Frage hätte ich noch. Was bedeuten das = mit der 4 unten? Ich habe nichts dazu im internet gefunden.

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Danke für die einfache Erklärung.

Wenn man die Hälfte weg lässt wird Vieles einfach.

Bezüglich der 4 musst du mal einen Komilitonen aus der Fachschaft Deutsch fragen.

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Mit dem IV wollte ich nur sagen dass ich die Induktionsvoraussetzung dort verwende.