Das n-te Taylorpolynom an der Stelle \( x_0 = 0 \) einer Funktion \( f(x) \) ist definiert als $$ T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{ f^{(k)}(0) } { k! } x^k $$
Hier ist $$ f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i $$ und $$ f^{ (k) } (x) = \sum_{i=0}^n a_i i (i-1) \cdots (i-(k-1)) x^{i-k} = \sum_{i=k}^n a_i i (i-1) \cdots (i-(k-1)) x^{i-k} $$
An der Stelle \( x = 0 \) ergibt sich $$ f^{ (k) } (0) = a_k k (k-1) \cdots (k-k+1) = a_k k! $$
und deshalb gilt $$ T_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k $$