Zeigen Sie, dass das n-te Taylorpolynom in x = 0 zu f gleich der nach x n abgeschnittenen Potenzreihe ist.

Question

Aufgabe:

Die Funktion f sei definiert durch die Potenzreihe \( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \)

Text erkannt:

\( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \)

 mit positiven Konvergenzradius. Zeigen Sie, dass das n-te Taylorpolynom in x = 0 zu f gleich der nach x n abgeschnittenen Potenzreihe ist.

Answer 1

Das n-te Taylorpolynom an der Stelle \( x_0 = 0 \) einer Funktion \( f(x) \) ist definiert als $$  T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{ f^{(k)}(0) } { k! } x^k $$

Hier ist $$ f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i  $$ und $$ f^{ (k) } (x) = \sum_{i=0}^n a_i i (i-1) \cdots (i-(k-1)) x^{i-k} = \sum_{i=k}^n a_i i (i-1) \cdots (i-(k-1)) x^{i-k} $$

An der Stelle \( x = 0 \) ergibt sich $$ f^{ (k) } (0) = a_k k (k-1) \cdots (k-k+1) = a_k k! $$

und deshalb gilt $$  T_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k $$