Hallo :)
Ich sollte die folgende Aufgabe lösen:
Aufgabe: A= \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \)
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von φ.
b)Geben Sie alle Eigenwerte von φ an!
c)Geben Sie zu allen Eigenwerten λ von φ die zugehörigen Haupträume Hau(φ, λ) an!
d) Geben Sie eine Basis Bλ des Hauptraumes Hau(φ,λ) an, so dass die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung
φ|Hau(φ,λ) : Hau(φ, λ) → Hau(φ, λ)
bezüglich der Basis Bλ eine obere Dreiecksmatrix ist.
e) Geben Sie eine Basis B von ℝ3an, so dass die Abbildungsmatrix MBB(φ) eine
Jordanmatrix ist.
Problem/Ansatz:
a) χA= -λ3 +4λ2 - 5λ+2 ⇒ b) λ1=2 λ2=1 λ3=1
c) habe ich so gemacht: Hau(φ, 2) = ker(A) = span(1,0,1)t
Hau(φ, 1)=Ker(A-E3)^2 = span {(1,0,0),(0,1,1)}
d)Basis von Hau(φ, 2) ist B2 ={(1,0,1)t}
(λ=1)zu Jetzt habe ich einen Vektor v1, und muss noch v2 bestimmen - dies habe ich so gemacht: (A-E3)*(x,y,z)t = (0,1,1)t und erhlate hier v2= (0, 1/2, 1/2)t ⇒ Die Basis von λ=1 ist : B1= {(0,1,1)t, (0, 1/2,1/2)t}
Die Abb.Mat. lautet dann: MBB= \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
e) Die Basis ist B= {(1,0,1)t, {(0,1,1)t, (0, 1/2,1/2)t}
Aber ich weiß nicht wie ich die Jordansche Mat. aufschreiben soll :/ und ich wollte auch fragen ob ich das auch richtig gerechnet habe. Ich bedanke mich im voras :)
