$$\text{Für }n\ge0\text{ sei die Folge }\{a_n\}\text{ definiert durch }a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.$$$$\text{Sei }\sum_{n=0}^\infty c_n=\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\text{ mit }c_n=\sum_{k=0}^n a_k\cdot a_{n-k}$$$$\text{das Cauchy-Produkt der Reihe }\sum_{n=0}^\infty a_n\text{ mit sich selbst.}$$$$\text{Für alle }n\text{ ist}$$$$c_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\cdot\frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}=(-1)^n\cdot\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}.$$$$\text{Behauptung: Für alle }n\text{ gilt }|c_n|\ge1.$$$$\text{Beweis: Für alle }n,k\in\mathbb N\text{ gilt }0\le\big((k+1)-(n-k+1)\big)^2$$$$\Leftrightarrow0\le(k+1)^2-2(k+1)(n-k+1)+(n-k+1)^2$$$$\small\Leftrightarrow4(k+1)(n-k+1)\le(k+1)^2+2(k+1)(n-k+1)+(n-k+1)^2$$$$\Leftrightarrow4(k+1)(n-k+1)\le\big((k+1)+(n-k+1)\big)^2=(n+2)^2$$$$\Leftrightarrow\sqrt{(k+1)(n-k+1)}\le\frac{n+2}2$$$$\Rightarrow|c_n|\ge\sum_{k=0}^n\frac2{n+2}=\frac{2n+2}{n+2}\ge1.$$$$\text{Daraus folgt die Divergenz der Reihe }\sum_{n=0}^\infty c_n.$$
