Hallo,
die Reihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) konvergiert nach dem Leibnizkriterium, da \(a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) eine monoton fallende Nullfolge ist (Leibniz-Kriterium)
Das Cauchy-Produkt mit sich selbst divergiert allerdings, da die Reihe nicht absolut konvergiert (harmonische Reihe als divergente Minorante) $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k+1}} \frac{(-1)^{(n-k)}}{\sqrt{(n-k)+1}}\right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} $$ wobei $$\left|\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\right| \geq\left|\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1}\right|=\frac{n+1}{n+1}=1. \quad $$ Die Summanden des Cauchy-Produkts ergeben somit keine Nullfolge, daher kann das Cauchy-Produkt auch nicht konvergieren.
