Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst divergiert.

Question

Aufgabe:

Sei an=   $$(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ ür n ∈ N0 . Zeigen Sie, dass die Reihe $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}$$

konvergiert und das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst divergiert.

Problem/Ansatz:

Hallo wäre jemand bereit mir diese aufgabe zu lössen.

Answer 1

Hallo,

die Reihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) konvergiert nach dem Leibnizkriterium, da \(a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) eine monoton fallende Nullfolge ist (Leibniz-Kriterium)

Das Cauchy-Produkt mit sich selbst divergiert allerdings, da die Reihe nicht absolut konvergiert (harmonische Reihe als divergente Minorante) $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k+1}} \frac{(-1)^{(n-k)}}{\sqrt{(n-k)+1}}\right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} $$ wobei $$\left|\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\right| \geq\left|\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1}\right|=\frac{n+1}{n+1}=1. \quad $$ Die Summanden des Cauchy-Produkts ergeben somit keine Nullfolge, daher kann das Cauchy-Produkt auch nicht konvergieren.

Comments

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Ist   Feuervogel ≥ Einhorn   ?

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Nein, aber diese Antwort steht in der Tradition des Kintsugi.