Question

Wie kann ich den minimalsten Abstand / Entfernung zwischen einen Punkt und einer Punkt auf einer Ebene berechnen? Ich weiß nicht genau, ob Ebene das richtige Wort ist. Es ist ein Haus das die Form eines Prismas hat in einem x,y,z Koordinatensystem und der minimalste Abstand zwischen dem gegebenen Punkt und zu dieser Wandfläche soll berechnet werden. Wie geht das?

Answer 1

Doch das ist schon ok. Die Wandfläche liegt vermutlich in einer Ebene und wenn du den Abstand vom Punkt zur Wandfläche nehmen sollst dann wäre das der Abstand zur Ebene. Zumindest wenn das Lot durch den Punkt auf die Ebene tatsächlich die Wandfläche trifft.

Am einfachsten ist es die Abstandsformel für Ebene-Punkt zu nehmen einzusetzen und auszurechnen.

Schwieriger ist es zunächst den Lotfußpunkt zu bestimmen und dann dan Abstand zwischen dem Punkt und dem Lotfußpunkt zu bestimmen.

Im zweiten Fall könntest du auch leicht prüfen ob der Lotfußpunkt auf der Wandfläche liegt.

Comments

Wie würde das rechnerisch aussehen? Ich hab die Abstandsformel, jedoch was soll ich einsetzen und ausrechnen? Und was ist der Lotfußpunkt?

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Der Lotfußpunkt ist der Punkt der Ebene, der am dichtesten an dem Punkt liegt, dessen Abstand du berechnen möchtest.

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Wie würde das am einfachsten mit der Abstandsformel Punkt-Ebene gehen? Die Koordinatengleichung der Ebene habe ich jetzt bestimmt, nur weiß ich nicht, was ich mit der Abstandsformel jetzt machen soll..

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Du wandelst die Koordinatenform der Ebene in die Abstandsform um

$$E: \quad a \cdot x + b \cdot x + c \cdot x = e\\ \quad\\ d = \frac{| a \cdot x + b \cdot x + c \cdot x - e |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Hier setzt du nur noch die Koordinaten des Punktes für x, y und z ein und erhältst den Abstand.

Willst du es mal probieren?

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Und wo genau gebe ich die Koordinaten des gegebenen Punktes ein?Woher weiß ich zudem, ob das Ergebnis auch der minimalste Abstand ist? Darum gehts ja hier. Mithilfe des Punktes einen Punkt auf der Ebene bestimmen, der den minimalsten Abstand hat

LG

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Tut mir leid für die Störung aber hättest du eine Antwort für mich? :/

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Ich habe doch gesagt das die Koordinaten des Punktes für x, y und z eingesetzt werden.

Das ist wie gesagt die Abstandsformel. Und es gibt nur einen Abstand und das ist der minimale Abstand.

Ich weiß nicht richtig was du willst.

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Eine Ebene hat ja mehrere Punkte. Meine Frage ist nun, wie kann es sein, dass die Formel den minimalsten Abstand ausspuckt?

Das heißt, ich soll die Ebenengleichung von E: 20x = 0  in die Abstandsform bringen, was auch 20x wäre und dann durch die Länge des Normalenvektors (20,0,0) teilen? Also Wurzel von 20² - wobei das Ergebnis wäre ja wieder 20

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Wie kann ich daraus dann den Punkt bestimmen?

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E: 20x = 0

bedeutet

E: x = 0 ! Wozu dort die 20 ist weiß der Geier.

Mit x = 0 ist die Ebene gemeint deren x-Komponente 0 ist. Alle Punkte die nicht in dieser Ebene liegen haben den Abstand den der Betrag der x-Komponente angibt.

Der Punkt P(-3, 21, 5) hat also den Abstand 3 von der Ebene E.

Dazu braucht man eigentlich nicht mal die Abstandsformel oder?

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Ich kann deinen Gedankengang nachvollziehen. Jedoch habe ich noch paar Fragen: Wie bist du auf den Punkt gekommen? Ich meine, nach der Abstandsformel setze ich x = -3 ein also |-3| / Wurzel von 20²

Du meintest ja, die brauche ich gar nicht um den Punkt auf der Ebene zu bekommen, der den kürzesten Abstand hat. Woher krieg ich dann den Punkt?

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Den Punkt hast du doch gegeben.

Es ist ein Haus das die Form eines Prismas hat in einem x,y,z Koordinatensystem und der minimalste Abstand zwischen dem gegebenen Punkt und zu dieser Wandfläche soll berechnet werden. Wie geht das?

Ansonsten geb ich das hiermit auf, wenn du nicht in der Lage bist deutlich mitzuteilen was du eigentlich möchtest.

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Also da ist eine Wohnungswand/ Fläche / Wandebene und ein Schattenpunkt irgendwo. Und ich soll die kürzeste Entfernung zu dieser Wandebene von dem Punkt ermitteln, wofür ich am Ende denjenigen Punkt auf der WANDEBENE herausfinden möchte, der die kürzeste Entfernung zu dem Schattenpunkt hat. Könntest du mir hierfür genauere Anweisungen geben, wie ich weitermachen sollte? :/

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Nein. Wenn du nicht die ganze Aufgabenstellung ganz klar zur Verfügung stellst bin ich raus.

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Wegen Datenschutz: https://www.lernhelfer.de/sites/default/files/downloadcenter/Originalpr%C3%BCfung_Mathematik_Abi_2008_Hessen.pdf

Die Seite 9, die dritte Aufgabe

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Meinst du 3.1

3.1 Bestimmen Sie den Schattenpunkt S' der Mastspitze auf der Hangebene.

Das hätte absolut nichts mit dem kürzesten Abstand zu tun.
Oder hab ich da die Verkehrte Aufgabe am Wickel?

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Ups ne, ich meine 3.2 die untere davon. LG

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S' = [-4, 16, 1] oder?

Der Punkt liegt also in einer Höhe von 1. Damit ist nicht der Punkt C am nächsten sondern der Punkt der eine Einheit über C liegt.

Berechne mal die Abstände von [0, 8, 0] und von [0,8,1] zum Schattenpunkt. Vielleicht geht dir dann ein Licht auf.

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Dass nicht der Punkt C gemeint ist, habe ich verstanden, nur, wie bist du auf (0|8|1) gekommen, bzw. wie auf den Gedankengang, dass der Punkt einfach um 1 LE über den Punkt C liegt? Aber das würde mir auch dann keine Gewissheit geben, ob das auch wirklich die kürzeste Strecke zur Wand ist, oder nicht?

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Das ist doch ganz genau in der Lösung erklärt

Alle Punkte der Wand DGCH haben die Koordinaten

[0, y, z] mit 0 ≤ y ≤ 8 und 0 ≤ z ≤ 4

Der Abstand zum Punkt [-4, 16, 1] berechnet sich aus

d = √((-4)^2 + (16-y)^2 + (1 - z)^2)

Nun soll d minimal werden. Was bedeutet das auch d^2 minimal werden soll.

d^2 = (-4)^2 + (16-y)^2 + (1 - z)^2

Eine Summe wird minimal wenn jeder Summand minimal wird.

d^2 = 16 + (16-8)^2 + (1 - 1)^2

Du siehst das wenn du y = 8 und z = 1 einsetzt alle Summanden den kleinsten Wert annehmen. Also hat [0, 8, 1] den kleinsten Abstand.

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Ich glaub ich habs verstanden. Gibt es dafür noch eig andere Wege?

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Wird die Summe nicht größer, wenn ich für y und z jeweils 0 einsetze?

d^2 = 16 + (16-0)^2 + (1 - 0)^2

Das sieht doch wie folgt in der Skizze aus

Du solltest dir zumindest vorstellen können, das von der Wand die Kante CG am dichtesten liegt. Und auf dieser Kante dann auch der Punkt der die gleiche Höhe hat.

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Warum muss das so sein:  0 ≤ y ≤ 8 und 0 ≤ z ≤ 4

Warum können nur y und z Werte gewählt werden, die von der Parametergleichung stammen also max. in derem Spektrum?

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Es geht doch um die Wanfläche in der Skizze. Und diese Wandfläche existiert nur in den genanten Bereichen.

Ich habe dir doch extra noch ein Bild oben eingestellt in der du die Wandfläche erkennen kannst.

Answer 2

Am einfachsten mit mit der Abstandsformel Punkt-Ebene

d=d(P,E)=|(p-a)*no|       Betrag |..|

Punkt P(x/y/z)

a(ax/ay/az) ist der Stützpunkt (Stützvektor) (A(ax/ay/az)) der Ebene

no(nox/noy/noz) mit Betrag |no|=1=Wurzel(nox²+noy²+noz²)

no=nx/|n|+ny/|ny|+nz/|n|

Betrag |n|=Wurzel(nx²+ny²+nz²)

Zweite Möglichkeit über das Lotfußpunktverfahren

gegeben: die Ebene in der Normalengleichung E: (x-a)*n=0  Normalenvektor n(nx/ny/nz)

Gerade g: x=a+r*m

Dies ist die Lotgerade,die durch den Punkt P(x/y/z) geht und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene hat.

also g: x=(x/y/z)+r*(nx/ny/nz)

In die Ebenengleichung einsetzen und den Fußpunkt (Schnittpunkt) errechnen

Abstand von zwei Punkten im Raum

Betrag |d|=Wurzel(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²

Damit hast du dann den minimalen Abstand von Punkt → Ebene

Comments

Also Lotpunktverfahren:

1: Ebenengleichung aufstellen (Parametergleichung und dann auf Koordinatenform)

2: Normalenvektor der Ebengleichung bestimmen

3: Normalenvektor + den gegeben Punkt → Parametergleichung bilden

4: x,y,z bestimmen davon

5: Die Einsetzen in die Koordinatengleichung der Ebene

6: Das Ergebnis davon einsetzen in die Gleichung von Schritt 3

Wie geht das jetzt weiter mit den minimalsten Abstand? Hab das nicht genau so verstanden

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Meinst du das mit der Abstandsformel so: https://www.abiturma.de/assets/compiled-latex/b4ed9f10e9e0958a98c3106c936bb42e1915fe50.svg

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Wenn ich nach der Abstandsformel gehe, die ich im Link oben geschickt habe, habe ich ja den Punkt  und dann stelle ich die Koordinatengleichung auf. Aber wie berechnet man da den minimalsten Abstand?

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LaTeX kann man auch direkt hier benutzen. Siehe dazu  https://www.matheretter.de/rechner/latex .

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Ich weiß ja nicht mal was ich machen muss, um Werte in einen Online-Rechner einzusetzen. Ich will es selber erarbeiten

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Du mußt ja irgendwelche Angaben haben

1) den Punktdiese P(x/y/z)  diesen setzt du in die Formel ein

d=|(p-a)*no|=|(x/y/z)-a)*no|

2) die Ebene mit dem Stützpunkt (Stützvektor) a(ax/ay/az)

2,1 den Normalenvektor der Ebene n(nx/ny/nz)

diesen wandelst du in den Normaleneinheitsvektor no=|1| um

no(nox/noy/noz)=nx/|n|+ny/|n|+nz/|n|

mit Betrag |n|=Wurzel(nx²+ny²+nz²)

in die Formel einsetzen und ausrechnen

Hinweis:Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

also Betrag |d|=(x*nox+y*noy+z*noz-(ax*nox+ay*noy+az*noz))

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@ fjf100: Also wenn ich es richtig verstanden habe meinst du das so:

Formel: | (Vektor p - Vektor a) * Vektor  n | / Vektor n

Für "(Vektor p - Vektor a)" nehme ich einfach den gegeben Punkt und subtrahiere ihn mit dem Vektor a. Anschließend bilde ich den Normaleneinheitsvektor mit Vektor a und dem Normalenvektor der Ebene und setze es einfach in die Formel ein für n.

Ja aber woher weiß ich dann bei diesem Ergebnis, ob das auch der minimalste Abstand ist?

Soll man nicht zudem mit der Koordinatenform arbeiten? Da müsste ich den Stützvektor der Ebene zusätzlich berechnen

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p ist der Punkt,der sich über der Ebene ist,muß gegeben sein

a(ax/ay/az) ist der Stützpunkt der Ebene, muß gegeben sein

no(nox/noy/noz) mußt du aus dem Normalenvektor der Ebene berrechnen.

der Normalenvektor der Ebene n(nx/ny/nz) muß auch gegeben sein

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Gegeben sind nur 4 Punkte der Ebene, aus die ich eine Parametergleichung gebastelt habe. Darüber hinaus ist noch der Punkt gegeben zwischen dem der minimale Abstand berechnet werden soll. Gehen diese Angaben auch?o

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Tut mir leid für die Störung aber hättest du eine Antwort für mich? :/

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Eine Ebene ist mit 3 Punkten eindeutig definiert

Den 4.ten Punkt brauchst du gar nicht.

Liegen alle 4 Punkte auf der Ebene,so kannst die 3 Punkte frei wählen.

Dreipunktgleichung der Ebene

E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

1) Die Punkte A(ax/ay/az)  → a(ax/ay/az) und B(bx/by/bz) → b(bx/by/bz) und C(cx/cy/cz) → c(cx/cy/cz)

Aus den 4 Punkten kannst du die 3 Punkte frei wählen.

Wenn du die 3 Punkte gewählt hast,dann mußt du natürlich auch bei der gesamten Rechnung dabei bleiben

Kontrolliere auch,ob der 4.te Punkt auch auf der Ebene liegt

Vektorielle Parametergleichung der Ebene

E: x=a+r*u+s*v

u(ux/uy/uz)=b-a=(bx/by/bz)-(ax/ay/az)

v(vx/vy/vz)=c-a=(cx/cy/cz)-(ax/ay/az)

Daraus ergibt sich dann die Normalengleichung der Ebene

E: (x-a)*n=0

usw.