Abstand zwischen Punkt und Ebene berechnen

Question

Vorab: Da es anscheinend ein Dutzend verschiedene Wege gibt, das zu berechnen, bitte ich den Antworter, sich auf das unten genannte Schema anzulehnen.

gegeben ist der Punkt P (2|-1|2) und die Ebene E:2x1+x2+2x3=1.

Gesucht ist der Abstand zwischen Punkt und Ebene.

Ich bin fast durch, muss nur noch den Abstand von P zum Schnittpunkt berechnen.

Meine Rechnung/Schema:

Normalenvektor = 2/1/2

x1 = 2+2r

x2 = -1+1r

x3 = 2+2r

=> 2*(2+2r) + 1*(-1+r) + 2*(2+2r) = 1 => LGS = r = -2/3

So, komme von hier leider nicht mehr weiter. Da war noch irgendeteas mit Betrag und Wurzel, das habe ich leider alles wieder vergessen, Hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Answer 1

Hallo,

du möchtest also mit dem Lotfußpunktverfahren arbeiten. Na gut. Die Lotgerade ist gegeben durch:$$g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$$ Nun schneidest du Ebene und Gerade$$2x_1+2x_2+3x_3=2(2+2r)+2(-1+r)+3(2+2r)\overset{!}=1 \Rightarrow r=-\frac{2}{3}$$ Das gefundene \(r\) setzt du jetzt in die Geradengleichung ein:$$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2 \end{pmatrix}-\frac{7}{12}\begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2\\-5\\2\end{pmatrix}$$ Das ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. Der Abstand ist nun gegeben durch den Betrag Verbindungsvektors \(\overrightarrow{PS}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -4\\-2\\-4 \end{pmatrix}\), d.h. wir haben$$|\overrightarrow{PS}|=\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}=2.$$

Comments

Perfekt! Genau so wollte ich das haben.

Aber kann sein, dass ich eine Verständnisfrage habe, denn warum machst du am Ende PS und SP (also p - s). Kann sein, dass ich das auch mit Abstand zwischen Punkt und GERADE verwechsele...

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Es ist in der Tat egal, ob du von S ausgehend nach P gehst oder ausgehend von P nach S gehst. Der Abstand wird in jedem Fall der gleiche sein. Der Abstand von Frankfurt nach Berlin ist gleich dem Abstand von Berlin nach Frankfurt.

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Wenn du fragst, warum \(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}\) ist, schau mal hier: https://www.mathebibel.de/verbindungsvektor

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Ok, spielt also keine Rolle.

Nochmals, vielen Dank!!