Reflektion schneidet Hyperebene in genau einem Punkt & Schnittpunkt hat minimalsten Abstand

Question

Hallöchen ihr Lieben,
ich sitze mal wieder eine Geometrie-Aufgabe
Sie lautet wie folgt:

Sei H eine Hyperebene in Aⁿ, p ∈Aⁿ \H und q das Bild von p unter der Reflektion an H. 
1) z.z. die Gerade Lp,q schneidet die Hyperebene H in genau einem Punkt r 
2) z.z. r hat unter allen Punkten in H den minimalen Abstand zu p d.h. d(p,t)≤ d(p,r) für t ∈ H, dann auch t = r

Was ich weiß:

Definition einer Reflektion:
Sei H ⊂Aⁿ eine affine Hyperebene, d.h. dimH = n−1 und (p0,...,pn) ∈ERep(n) mit p0,...,pn−1 ∈H, pn ∉H. 
Dann ist R_H : Aⁿ →Aⁿ, die Reflektion an der affinen Hyperebene H, diejenige Bewegung, welche (p0,...,pn−1,pn) auf das eindeutig bestimmte euklidsche Repère (p0,...,pn−1,q) mit p₀q = −p₀p_n überführt. 
Insbesondere ist R_H|_H = Id_H, und die bezüglich des Repères (p0,...,pn) gegebene affin-lineare Abbildung ist [R_H] = (Einheitsmatrix mit -1 an der Stelle (n,n) )

Reflektion ist orientierungsumkehrend und Translation orientierungserhaltend
zu Translation wüsste ich:
- Zu zwei Punkten A, B gibt es höchstens eine Translation, bei der A auf B abgebildet wird.

Zu einer Geradenspiegelung weiß ich:
Ist σg eine Geradenspiegelung und α eine beliebige Kongruenztransformation, so ist ασgα−1 die Geradenspiegelung an der Geraden α(g). 
Beweis: Ist X ∈ α(g), so existiert ein Y ∈ g mit X = α(Y), und es folgt ασ_gα⁻¹(X) = ασ_g(Y) = α(Y) = X, d.h. α(g) ist Fixpunktgerade, ασ_gα⁻¹ ist axiale Affinität. Da in der Gruppe B jede von der identischen Abbildung verschiedene axiale Affinität eine Geradenspiegelung ist, folgt die Behauptung. 
Insbesondere gilt, falls α eine Geradenspiegelung σ_h ist: σσ_h(g) = σ_hσ_gσ_h, also ist σ_h(g) = k gleichbedeutend mit σ_hσ_gσ_h = σ_k 
bzw. mit σhσg = σkσh, es besteht die Äquivalenz σa(b) = c ⇐⇒ σaσb = σcσa für beliebige Geraden a,b,c

Gilt g ⊥ h, so ist g∩h ein Punkt.
g ⊥ h und g 6= h hat zur Folge, daß h in der Affinitätsrichtung von σg liegt. Da σg involutorisch ist, kann es keine Scherung sein, die Affinitätsrichtung ist von der Achsenrichtung verschieden, h und g sind nicht parallel

zur Ebenenspiegelung:
Ebene - Gerade: g ⊥ ε :⇐⇒ σε(g) = g und g∩ε ≠ g

Meine Überlegungen:

1)

Ich weiß, dass eine Gerade, die nicht parallel zu einer Hyperebene ist, diese in genau einem Punkt schneidet.
Beweis: Wähle Gerade L  und Hyperebene H, die nicht parallel sind.
Nun schneidet L die uneigentliche Hyperebene H_unendl. in einem Punkt, der nicht in H∩H_unendl. liegt.
L und H müssen sich in einem Punkt P schneiden. Da sie sich nicht in H_unendl. treffen, muss P in A sein

Aber wie kann ich dies mit meiner Definition von Reflektion beweisen?

2) 
                                  ↓Dreiecksungl.↓
 d(p,t) = d(T(p),T(t))      ≤   d(T(p),T(r)) + d(T(r),T(t))  =   d(p,r) + d(r,t)
     nun ist z.z d(r,t) = 0, d.h. r = t

                                                                     ↓↓wie kommen wir darauf??
     d(r,t) = d(T(r),T(t)) = | T(r) - T(t) | = | r-t |      =      0 ⇒ r = t 

Oh je, das war jetzt wohl etwas viel ^^

Vielen Dank schon einmal im Voraus für eure Antworten 
sonnige Grüße Lisl

Answer 1

Hallo Lisl,

folgendes ist mehr eine Sammlung meiner Gedanken, als eine Lösung zur Aufgabe. Die Frage, die ich mir stelle, ist: was kann/darf man hier voraussetzen?

Ich definiere zunächst mal \(H\) wie folgt

$$H(v,e) = \{x \in A^n : \space \left< v,\, x \right> = e, \space \left| v\right|=1 \} $$ \(v\) sei ein Einheitsvektor der Länge 1 und \(e\) ist ein Skalar. In 3D ist dies identisch mit der Hesseschen Normalform. Und wenn ich nun diese Abbildung 

$$q = p - 2\frac{\left< v,\, p\right> - e}{\left| v\right|^2} v = p - 2 \left( \left< v,\, p \right> - e\right) v$$ als bekannt für die Reflexion voraussetzen kann, dann ist es relativ einfach. Die Gerade \(L\) durch \(p\) und \(q\) ist dann$$\implies L: \space x = p + \lambda  \left( \left< v,\, p \right> - e\right) v$$und das setze ich in die Gleichung für \(H\) ein und erhalte eindeutig(!) ein \(\lambda=-1\) (was nicht verwundert!). Damit ist gezeigt, dass es genau einen Punkt gibt, den \(L\) und \(H\) gemeinsam haben.

Aber wie kann ich dies mit meiner Definition von Reflektion beweisen?

Nun hast Du aber diese Definition der Reflexion zitiert, die besagt u.a. dass für den Punkt \(q\) gilt \(p_0 q = -p_0 p_n\). Das ist aber für sich genommen noch nicht eindeutig, denn das gilt für jeden Punkt \(q\), der sich in einer Hyperebene befindet, die den gleichen Abstand von \(H\) hat wie \(q\) und zu \(H\) parallel liegt.

Dort steht aber noch

... diejenige Bewegung, welche (p0,...,pn−1,pn) auf das eindeutig bestimmte euklidsche Repère (p0,...,pn−1,q) mit p0q = −p0pn überführt.

Das 'euklidische Repère' scheint das Internet nicht zu kennen. Und ich habe den Ausdruck noch nie gehört. Aus dem französischen kann man 'Repère' in diesem Kontext mit 'Bezugspunkt' übersetzen. Wenn ich aber den Ausdruck 'Bewegung' als lineare Abbildung übersetze, dann wird IMHO \(q\) zumindest eindeutig. Mit$$R_H |_H = Id_H$$kann ich leider nichts anfangen. Diese Hyperebene enthält dann aber den Nullvektor! D.h. das oben erwähnte \(e\) ist =0.

Wenn \(R_H\) (oder \(R_H|_H\)?) die Matrix für die erwähnte Abbildung sein soll, und eine Einheitsmatrix darstellt, wo nur das Element \(a_{n,n}=-1\) ist, dann müssten die Vektoren \(p_i\) nur in einer Koordinate ein nicht 0-Element enthalten. Das könnten z.B. die Vektoren sein, die nach einer Transformation in ein System entstehen, dass durch die Eigenvektoren von \(H\) aufgespannt wird.

Vielleicht noch ein Gedanke: Teile \(p_n\) in zwei Vektoren, von denen einer in \(H\) liegt \(\to h_n\) und der andere senkrecht dazu \(\to v_n\):$$p_n = h_n + v_n$$\(h_n\) ist also eine Linearkombination der \(p_i, \, i \in [1,n-1]\). Sei nun \(R_H\) die Abbildung für die Reflexion, dann gilt$$q = R_H \cdot p_n = R_H \cdot(h_n + v_n) = h_n + R_H \cdot v_n$$da lt. Definition \(R_H \cdot h_n = h_n\) sein muss. Damit ist die Gerade \(L\)$$L: \space x = h_n + \lambda v_n$$und die hat nur einen Punkt - nämlich für \(\lambda=0\) - mit \(H\) gemeinsam.

Für den Teil b) der Aufgabe kann man ähnlich argumentieren, indem man einen beliebigen Punkt \(x \ne h_n\) in \(H\) wählt und den Abstand zu \(p\) bzw. \(q\) berechnet und zeigt, dass dieser immer größer ist, als der Abstand \(h_n\) zu \(q\) bzw. \(p\).

Ich hoffe Du kannst irgendwas davon verwenden.

Gruß Werner

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Vielen Lieben Dank für die Ideen