explizite Darstellung zur Rekursion

Question

Aufgabe:

Hallo,

ich muss zeigen, dass zur folgenden Rekursion pk=cos(kx) die explizite Darstellung ist:

p_k = a p_k-1 + b p_k-2,  a = 2 cos(x), b = -1, k = 2, 3, ...

Rekursionsanfang: p₀ =1, p₁ = cos(x)
 p2 =2cos(x)cos(x)–1 =2cos²(x)–1
p3 =2cos(x)(2cos²(x)-1)–cos(x) =4cos³(x)–3cos(x)

Ich würde mich über eine Hilfestellung sehr freuen.

Answer 1

Das beweist du am besten per vollst. Induktion:

Ind.anf:  k=2 ist zu zeigen p2 = 2cos(x) * p1 - 1 *po

Einsetzen zeigt:  stimmt !

Wenn die Rekursion bis zu einem gewissen k richtig ist, also

gilt pk = 2cos(x) * p_k-1 - 1 *p_k-2 also    cos(kx) = 2cos(x) * p_k-1 - 1 *p_k-2

Dann gilt für k+1    cos((k+1)*x) = cos(kx+x)

=  (Additionstheorem)    cos(kx)*cos(x) - sin(kx)*sin(x)

=  p_k*cos(x) - sin(kx)*sin(x)

Das müsst ja dann gleich sein mit

  2cos(x)*p_k - p_k-1

Also bleibt zu zeigen  pk*cos(x) - sin(kx)*sin(x) =  2cos(x)*p_k - p_k-1

                      <=>         p_k-1  = cos(x)*p_k  + sin(kx)*sin(x)

Und in der Tat wieder mit Add.theorem

p_k-1 = cos ( (k-1)*x) = cos( kx-x) =  cos(kx)*cos(x) + sin(kx)*sin(x)

                                                     = p_k*cos(x)  + sin(kx)*sin(x)    q.e.d.

Comments

Danke, ich habe es verstanden. Vielen lieben Dank!