K-Vektorraum der Dimension n und W1... Wk Untervektorräume

Question

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe. Vielen Dank schon mal.

Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum der Dimension n und W1, . . . , Wk Untervektorräume von V . Zeigen
Sie:

a) dim(W1 + . . . + Wk) ≤ dim(W1) + . . . + dim(Wk),

b) Ist dim(Wi) = n − 1 für i ∈ {1, . . . , k}, so gilt dim(W1 ∩ . . . ∩ Wk) ≥ n − k.

Nutzen Sie bei b) eine Induktion über k.

Answer 1

a)  Sei zu jedem Unterraum W_j die Dimension d_j .

Dann gibt es Basen  v_j,1 ; …. ;  v_j,dj    .

Wenn man diese Basisvektoren alle zu einem System zusammenfasst

hat man ein Erzeugendensystem für W1 + . . . + Wk mit

dim(W1) + . . . + dim(Wk) Elementen.

Dieses lässt sich zu einer Basis von W1 + . . . + Wk reduzieren, also

dim(W1 + . . . + Wk) ≤ dim(W1) + . . . + dim(Wk).

Auch hier müsste man wohl genau genommen eine

Induktion über k machen.