Flächeninhalte der eingeschlossenen Kurve berechnen: Paramterdarstellung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in Parameterdarstellung:

x=4sin(2t)  und y=4sin(t) ,0° ≤ t ≤ 360°

Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von der geschlossenen Kurve berandet
wird?

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht das Problem mit der folgenden Formel zu lösen:

A= \( \int \limits_{0}^{2 \pi} ~ y · x' ~ dt \)

Also erstmal ableitung von x berechnet: 8cos(2t)

Alles eingesetzt und zunächst Stammfunktion berechnet:

A= [32*cos(t)-(64*cos(t)^3)/3]

Wenn ich nun 360° einsetze minus 0° erhalte ich einen wert von 0...

das Ergebnis ist allerdings: 128/3FE

Über etwas Hilfe würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

Du solltest den Umlaufsinn beachten.

Ein Teil der insgesamt eingeschlossenen Fläche wird von der Randkurve (die einer "8" gleicht) im positiven Sinn umlaufen, der andere im negativen Sinn. Das gleicht sich im Ganzen aus, und es ergibt sich scheinbar der "Gesamtflächeninhalt" null. Teile das Integral also auf !

Comments

Wie könnte ich es denn am besten aufteilen ? :/

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Naja, verfolge einfach mal genau, in welcher Weise die Kurve durch die Parametrisierung durchlaufen wird !

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Also die Form ist eine 8 da hat du schon recht.

Sollte ich dann für  das Intervall eventuell von 0 bis 180grade berechnen?

Dann berechne ich ja so gesehen nur den oberen teil und kann die mit 2 multipliezieren.

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Also für Oben F(180)-F(0) und das dann einfach mit 2 multipliezieren

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Ja - und einen entsprechenden Kommentar (bezüglich der Symmetrie) anbringen. Es wird doch eben der obere Teil der "8" im positiven Sinn umlaufen. Dann überkreuzt sich die Kurve selber, und der Rest der eingeschlossenen Fläche wird im anderen Drehsinn umlaufen.

Für die Integrationsaufgabe würde ich dringend das Bogenmaß (anstatt Winkelgrade) empfehlen.

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Ok super, vielen Dank für die Hilfe:)

Manchmal braucht man etwas ein besseres Verständnis:D