Momentane Änderungsrate des ersten Arguments bei Erhöhung des zweiten Arguments um eine marginale Einheit.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion

$$ F\left(x_{1}, x_{2}\right)=7 \cdot x_{1}^{2}+4 \cdot x_{1} \cdot x_{2}+6 \cdot x_{2}^{2} $$

Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle \(a = (4,8)\) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion \(F(a)\). (Gehen Sie außerdem davon aus, dass \(x_{1}\leq 0\) und \(x_{2} \leq 0\) gilt.)

a. Momentane Änderungsrate des ersten Arguments bei Erhöhung des zweiten Arguments um eine marginale Einheit. 
b. Exakte Veränderung des ersten Arguments, wenn sich das zweite Argument um 0.45 Einheiten verringert.
c. Approximative Veränderung des ersten Arguments, wenn sich das zweite Argument um 0.45 Einheiten verringert.

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe \(x\) für \(x_1\) und \(y\) für \(x_2\), das ist etwas weniger zu tippen und übersichtlicher.$$F(x,y)=7x^2+4xy+6y^2\quad;\quad \mathbf a=(4;8)\quad;\quad F(\mathbf a)=F(4;8)=624$$

a) Momentane Änderungsrate \(dx\) bei konstantem \(F(4;8)\):

Wenn die Funktion \(F\) konstant ist, muss ihr Differential \(dF\) null sein:$$0\stackrel{!}{=}dF=\partial_x F\,dx+\partial_y F\,dy=(14x+4y)dx+(4x+12y)dy=88dx+112dy$$$$dx=-\frac{112}{88}dx=-1,\overline{27}\,dy$$

b) Exakte Veränderung des zweiten Argumentes, wenn \(\Delta y=-0,45\) beträgt:$$624=F(4;8)\stackrel{!}{=}F(x;7,55)=7x^2+30,2x+342,015$$$$7x^2+30,2x-281,985=0$$Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert:$$x_1\approx-8,86064\quad;\quad x_2\approx4,54635$$Da wir lt. Aufgabenstellung \(x,y\ge0\) annehmen sollen, bleibt nur \(x_2\) als Lösung übrig. \(x\) erhöht sich also von \(4\) auf \(4,54635\). Das bedeutet für die Änderung:$$\Delta x=0,54635$$

c) Approximative Veränderung des zweiten Argumentes, wenn \(\Delta y=-0,45\) beträgt:$$\Delta x=-\frac{112}{88}\cdot(-0,45)=0,5\overline{72}$$