Sei P : V → V linear mit P2 := P◦P = P

Question

Hallo, kann mir bitte bei dieser Aufgabe geholfen werden...

Sei \( K \) ein Körper und sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum. Sei \( P: V \rightarrow V \) linear mit \( P^{2}:=P \circ P=P \) (solche Abbildungen nennt man Projektionen ). Zeige \( V=\operatorname{ker}(P) \oplus \operatorname{Im}(P) \)

Vielen Dank.

Answer 1

Sei v∈V  ==>   w := P(v) ∈ Im(P)

und  v - w ∈ ker(P), weil P(v-w) = P(v) - P(w)

                                                  = P(v) - P(P(v)) (nach Def. von w )

                                                  = P(v) - P(v)  (wegen P^2 = P )

                                                   = 0 .

Also gibt es zu jedem  v∈V eine Zerlegung in eine Summe w + (v-w)

mit einem Summanden aus Im(P) und einem aus ker(P).

Also  v ∈   Im(P) + ker(P)  #.   Diese Summe ist direkt, denn :

Sei u ∈  Im(P)   und    u ∈ ker(P)

==>  Es gibt ein v∈V mit u = P(v)  und  P(u)=0

==>    P(P(v)) = 0  und wegen P^2 = P

also auch P(v)=0, aber wegen P(v)=u ist also u=0.

D.h. Im Durchschnitt von  Im(P)   und  ker(P) liegt nur

der Nullvektor. ==>  Die # ist direkt.

Answer 2

Hallo,

wir zerlegen \( v \in V \) in \( v = v - Pv + Pv = v_{\text{Kern}} + v_{\text{Bild}} \) und finden

\( P v_{\text{Kern}} = P(v - Pv) = Pv - P^2 v = 0 \)

sowie

\( P v_{\text{Bild}} = PPv = Pv \).

Es gibt also zunächst für jeden Vektor \( v \in V \) eine Darstellung als Summe aus einem Bild- und Kern-Vektor von \( P \).

Wir zeigen nun, dass der Schnitt von Kern und Bild von \( P \) der Nullvektor ist.

Sei dazu \( v \) im Bild von \( P \). Es gibt also ein \( u \in V \), sodass \( P(u) = v \) ist. Gleichzeitig ist \( P^2(u) = P(u) = P(v) \), das heißt \( v = P(v) \). Sei \( v \) auch im Kern von \( P \). Dann ist \( P(v) = 0 \) und es folgt \( v = 0 \).

Damit ist gezeigt, dass \( V \) sich in die direkte Summe von Kern und Bild von \( P \) zerlegen lässt.

Grüße

Mister

Quelle: https://people.math.ethz.ch/~ilmanen/classes/linalg-ss07/ml3.pdf