Schnitt von f(x,y) und ebene E bestimmen.

Question

Aufgabe:

"Betrachte den Graphen der Funktion f(x,y)=1/4(x^2+y^2). Sei E die Ebene, welche durch E:={(x,y,z) Element R^3:x=2} gegeben ist."

a) Bestimmen Sie die Funktion fE, deren Graph dem Schnitt von f mit der Ebene E entspricht

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich den Schnitt von f und E bestimmen soll, jedoch habe ich Schwierigkeiten bei der Vorstellung von f(x,y). Ich denke es könnte sich um einen Kreis oder eine Art "Schale" handeln. Jedoch verstehe ich das x=2 bei der Ebene nicht. Wenn die Ebene erst dort beginnt, würde doch kein Schnittpunkt existieren oder?

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(f(x,y)=\frac{1}{4}(x^2+y^2\)) schneidet die Ebene \(x=2\) in der folgenden Funktion:$$f_E(y)=f(2,y)=\frac{1}{4}(2^2+y^2)=1+\frac{y^2}{4}$$Sie hängt nur von \(y\) ab, weil \(x=2\) ja durch die Ebene vorgegeben ist.

Comments

Danke, das habe ich auch schon versucht aber gibt mir diese Funktion dann tatsächlich den Schnitt an?

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Streng genommen befindest du dich in 3 Dimensionen. Die Originalfunktion ist:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x\\y\\\frac{1}{4}(x^2+y^2)\end{pmatrix}$$Die z-Koordinate ist der Funktionswert \(f(x,y)\), was du dir etwa als Höhe in einem Gebirge vorstellen kannst. Speziell auf der Schnittebene \(x=2\) haben wir dann:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}2\\y\\1+y^2/4\end{pmatrix}$$Wenn man hier nur die z-Koordinate angibt, geht die Information verloren, dass \(x=2\) festgehalten ist. Ich weiß nicht, welche Notation ihr eingeführt habt. Möglich wäre z.B. auch:$$f_{x=2}(x,y)=1+\frac{y^2}{4}$$$$f_E(x=2,y)=1+\frac{y^2}{4}$$$$z=1+\frac{y^2}{4}\quad;\quad x=2$$

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Vielen lieben Dank:)