Harmonischer Mittelwert aus Cos(20°) und Cos(20°+120°) und Cos(20°+240°)

Question

Gesucht ist der Harmonische Mittelwert der 3 Cos-Werte cos 20°, cos (20° +120°) = cos 140° und cos (20° +240°) = cos 260°.

Das Harmonische Mittel kann wie folgt bestimmt werden: Der Kehrwert des Harmonsichen Mittels ist der Arithmetische Mittelwert der Kehrwerte der Einzelwerte.

                    n

1/H = 1/n *∑ 1/ai       mit  ai ≠ 0 für alle ai

                   i=1

Das gefundene Harmonische Mittelwert ist als selbst als Cos-Wert aufzufassen: Bestimmen Sie bitte den Grad-Winkel dieses Cos-Wertes.

Waehlen Sie dann als "Basis-Winkel" 10° statt 20°, also bestimmen Sie bitte das Harmonische Mittel für cos 10°, cos (10 +120°) = cos 130° und cos (10 +240°) = cos 250° und das Argument für den als Cos-Wert aufgefaßten Harmonsichen Mittelwert.

Bestimmen Sie das Harmonische Mittel und dessen Cos-Argument für von Ihnen gewaehlte "Basiswinkel".

Answer 1

Gesucht ist der Harmonische Mittelwert der 3 Cos-Werte cos 20°, cos (20° +120°) = cos 140° und cos (20° +240°) = cos 260°.

m = 3/(1/cos(20°) + 1/cos(20° + 120°) + 1/cos(20° + 240°)) = -0,5

arccos(-0,5) = 120°

Genauso macht man das für 10°

m = 3/(1/cos(10°) + 1/cos(10° + 120°) + 1/cos(10° + 240°)) = -0.8660254037

arccos(-0.8660254037) = 150°

Nun  wählst Du dir einen Basiswinkel und machst das ganz exakt so nach.

Comments

alpha = 15 => H = 3/(1/cos 15 +1/cos135 +1/cos255) = -0.707106781 = cos 135 = -cos 45

alpha = 5 => H = 3/(1/cos 5 +1/cos 125 +1/cos 245) = -0.965925826 = cos 165 = -cos 15

alpha = 7 => H = 3/(1/cos 7 +1/cos 127 +1/cos 247) = -0.933580426 = cos 159 = -cos 21

alpha = 25 => H = 3/(1/cos 25 +1/cos 145 +1/cos 265) = -0.258819045 = cos 105 = -cos 75

alpha = 35 => H = 3/(1/cos 35 +1/cos 155 +1/cos 275) = 0.258819045 = cos 75 = -cos 105

Es gilt also: H = -cos (3*alpha)   (alpha = Basiswinkel)

Die 3 cosini a = cos(1alpha), b = cos(1alpha +120°) und c = cos(1alpha +240°) sind Lösungen der Gleichung

x^3 -3/4 x -1/4*cos (3alpha) = 0, denn es gilt cos(3alpha) = 4(cos alpha)^3 -3(cos alpha)

=> (cos(alpha))^3 -3/4(cos(alpha)) -1/4 cos(3alpha) = 0

Man substituiere x = cos(alpha)

In Produktform sieht die Gleichung also so aus:

(x -x1)*(x -x2)*(x -x3) = 0

Daraus folgt:     -1/4*cos(3alpha) = (-a)*(-b)*(-c) = -abc

und -3/4 = ab +ac +bc = (abc)/c +(abc)/b +(abc)/a = (abc)*(1/c +1/b +1/a) = +1/4cos(3alpha)

=> cos3alpha = -3/(1/a +1/b +1/c) = -H

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Die vorletzte Zeile muss natuerlich

-3/4 = ab +ac +bc = (abc)/c +(abc)/b +(abc)/a = (abc)*(1/c +1/b +1/a)

= +1/4cos(3alpha)*(1/a +1/b +1/c)

lauten (Faktor (1/a +1/b +1/c) vergessen), sorry

2. Anmerkung: Die Produktform (x -x1)*(x -x2)*(x -x3) kann auch (x -a)*(x -b)*(x -c) geschrieben werden,

woraus das absolute Glied -abc und das lineare Glied +ab+ac+bc folgt.