Wie stelle ich die Formel Harmonisches Mittel = 2*a*b/(a+b) um?

Question

Frage: Mir sind das harmonische Mittel und der Wert von a bekannt. Wie errechne ich b?

Oder mir sind das harmonische Mittel und der Wert von b bekannt. Wie errechne ich a?

Answer 1

Nennen wir das Harmonische Mittel mal H.

H = 2ab/(a+b)  |*(a+b)

H(a+b) = 2ab  |-2ab-Ha

Hb - 2ab = -Ha

b*(H-2a) = -Ha

b = Ha/(2a-H)

Da die Formel für das geometrische Mittel in a und b symmetrisch ist, erhält man die entsprechende Formel für a, wenn man beide Buchstaben vertauscht:

a = Hb/(2b-H)

Answer 2

m = 2*a*b/(a+b) | *(a+b)
m(a + b) = 2ab | Ausmultiplizieren
ma + mb = 2ab | -ma - 2ab
mb - 2ab = -ma | b ausklammern
b(m - 2a) = -ma |:(m - 2a)
b = -ma/(m - 2a) | Bruch mit -1 kürzen.
b = ma/(2a - m)