Darstellungsmatrix bestimmen und Determinante ermitteln

Question

Gegeben sei der reelle Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens zwei

$$ P_{2}:=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}, a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} $$
mit Basis \( B:=\left\{1, x, x^{2}\right\} . \) Weiterhin sei die Abbildung \( f: V \rightarrow V \) gegeben, die durch
$$ f: p(x) \mapsto 3 p(x)+\left(-1-2 x+x^{2}\right) p^{\prime}(x)+\left(2+3 x-x^{3}\right) p^{\prime \prime}(x) $$
gegeben ist.

Zeigen Sie, dass für beliebige \( p \) tatsächlich \( f(p) \in V, \) bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von \( f \) bezüglich der Basis \( B \) und ermitteln Sie die Determinante von \( f \)

Answer 1

Aloha :)

Es fällt auf, dass in der Abbildungsvorschrift von \(f\) die Potenz \(x^3\) enthalten ist, die wir nicht in der Basis \(B=(1,x,x^2)\) finden. Daher ist es nicht offensichtlich, dass \(f:V\to  V\) gilt. Für die Abbildungsmatrix \(F\) benötigen wir die Bilder der Basiselemente. Wenn diese \(\in V\) sind, bildet \(f\) auf \(V\) ab und wir können die Abbildungsmatrix \(F\) angeben. Wenden wir also die Funktion \(f\) auf die Basiselemente an:$$f(1)=3\cdot1=3\in V\quad\checkmark$$$$f(x)=3x+(-1-2x+x^2)=-1+x+x^2\in V\quad\checkmark$$$$f(x^2)=3x^2+(-1-2x+x^2)\cdot2x+(2+3x-x^3)\cdot2=4+4x-x^2\in V\quad\checkmark$$Damit können wir die Abbildungsmatrix hinschreiben:$$F=\left(\begin{array}{r}3 & -1 & 4\\0 & 1 & 4\\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$Die Determinante von \(F\) ist:

$$\operatorname{det}F=\left|\begin{array}{r}3 & -1 & 4\\0 & 1 & 4\\0 & 1 & -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{r}3 & -1 & 4\\0 & 1 & 4\\0 & 0 & -5\end{array}\right|=3\cdot1\cdot(-5)=-15$$

Comments

Aber ist f(p)∈V ? (Mit V=P₂)

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ich verstehe den Ansatz bei der Determinante nicht. wie bist du von -1 auf -5 gekommen?

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@pas2014:

Ja, es ist \(f(p)\in V\). Bei der Betrachtung von \(f(x^2)\) heben sich die Terme \(x^2\cdot2x\) und \(-x^3\cdot2\) gegenseitig weg, sodass wir wieder ein Polynom 2-ter Ordnung haben.

@student22071992:

Ich habe in der Determinante die zweite Zeile von der dritten Zeile subtrahiert. Dadurch habe ich unterhalb der Hauptdiagonalen lauter 0en und die Determinante ist dann einfach das Produkt der Diagonalelemente.

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Aber wie zeige ich, dass ein beliebiges p tatsächlich f(p)∈ V ist ?

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Ich gehe Mal davon aus, dass V =P2 gilt, denn ansonsten ergibt die Konstruktion keinen Sinn. p(x)=a0+a1x+a2x^2 und berechne dann f(p). Damit f(p)∈V, muss ein Polynom 2-ten Grades rauskommen, was man nach Vereinfachen leicht sieht

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Was hast du dann raus bekommen? @pas2014