Alle mögliche Eigenwerte berechnen

Question

Gegeben sei eine Matrix \( A \in M(n \times n, \mathbb{R}) . \)

Berechnen Sie alle möglichen Eigenwerte von \( A \), wenn
a) \( A^{2}=0 \) gilt.
b) \( A^{2}=I_{n} \) gilt.
c) \( A^{2}=A \) gilt, also \( A \) ein Projektor ist.

Answer 1

Zu (a)

Wenn \( v \ne 0 \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda \) ist, dann gilt $$ A^2 v = A (Av) = \lambda A v  = \lambda^2 v = 0 $$ D.h. was?

Zu (b)

$$ A^2v = \lambda^2v = v $$ Was bedeutet das für \( \lambda \)?

Zu (c)

$$ A^2v = \lambda^2 v = \lambda v  $$ Und was bedeutet das?

Comments

a) d.h. A^k v = λ^k v

b) d.h. λ^2= 1 -> λ= -1,1

c) d.h. A^2 v=A(λv)=λ(Av)=λ(λv)=λ^2 v=λv

ist das korrekt?

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Welche Werte kommen denn bei (a) raus?

(b) ist ok.

Und bei (c) welche Werte kommen denn für \( \lambda \) raus

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a) Da v ungleich 0 ist, muss λ^2 = λ gelten. Daraus folgt also, dass λ= 0 oder λ= 1gelten muss

c) λ kleiner oder größer als 0 ?

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Bei (a) hatte ich geschrieben \( A^2 v = \lambda^2 v = 0 \) also \( \lambda = 0 \)

Und bei (c) steht \( \lambda^2 v = \lambda v \) also \( \lambda ( \lambda - 1 ) = 0 \) also \( \lambda = 1 \) oder \( \lambda = 0 \)

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könntest du eventuell auch dort reinschauen? https://www.mathelounge.de/729213/wie-zeige-ich-dass-der-eigenwert-gilt

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Kannst du mir erklären, wieso das bei c) so ist?

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$$  \lambda^2 v = \lambda v $$ also $$  \lambda (\lambda - 1 ) v = 0 $$ weil \( v \ne 0 \) folgt \( \lambda ( \lambda - 1 ) = 0 \) also \( \lambda = 0 \) oder \( \lambda = 1 \)