Aufgabe:
Gegeben sei ein \( n \) -dimensionaler \( \mathbb{K} \) -Vektorraum \( V \) und ein Endomorphismus \( \varphi \in \operatorname{End}_{\mathbb{K}}(V) \). Seien weiterhin \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m} \) paarweise verschiedene Eigenwerte von \( \varphi . \) Zeigen Sie, dass dann \( m \leq n \) sein muss und das
$$ \sum \limits_{\lambda_{i}} \operatorname{dim}\left(\operatorname{Eig}\left(\varphi, \lambda_{i}\right)\right) \leq n $$ gilt.
Mein Ansatz:
(I) Sei \( A \) eine \( (n \times n) \) -Matrix. Es ist \( \sum \limits_{\lambda \in K} \operatorname{dim} \operatorname{Eig}(A, \lambda) \leq n . \) Gleichheit gilt genau dann, wenn A diagonalisierbar ist.
(II) Sei \( n(\lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Eig}(A, \lambda) \). Ist \( \sum \limits_{\lambda \in K} n(\lambda)=n, \) so haben wir eine Basis aus Eigenvektoren konstruiert. Umgekehrt: Ist \( A \) eine Diagonalmatrix, so gibt es eine Basis \( \left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) aus Eigenvektoren. Ist \( m(\lambda) \) die Anzahl der Vektoren \( v_{i} \) mit Eigenvektor \( \lambda, \) so ist also \( \sum \limits_{\lambda} m(\lambda)=n . \) Andererseits ist \( m(\lambda) \leq n(\lambda) . \) Insgesamt sehen wir:
$$ n=\sum \limits_{\lambda} m(\lambda) \leq \sum \limits_{\lambda} n(\lambda) \leq n $$ und demnach gilt überall das Gleichheitszeichen.
Ich bin mir nicht sicher, ob das korrekt ist. Vorallem ich sollte eigentlich das berücksichtigen: Man wähle zu jedem Eigenwert \( \lambda_{i} \) eine Basis \( B_{i} \) des Eigenraum Eig( \( \varphi, \lambda_{i} \) ) und zeige, dass die Vereinigung\( \bigcup_{i=1}^{m} B_{i} \)linear unabhängig sein muss.
