Für alle A ∈ M(m × n, K) und alle B ∈ M(n × k, K) gilt (AB)T = BT AT.

Question

Sei K ein Körper und seien m, n, k ∈ N. Zeigen Sie:
Für alle A ∈ M(m × n, K) und alle B ∈ M(n × k, K) gilt (AB)^T = B^T A^T.

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Vom Duplikat:

Titel: Sei K ein Körper und seien m,n,k Elemente der natürlichen Zahlen

Stichworte: matrizen

Hallo, ich bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.

Sei \( K \) ein Körper und seien \( m, n, k \in \mathbb{N} . \) Zeige:
Für alle \( A \in M(m \times n, K) \) und alle \( B \in M(n \times k, K) \) gilt \( (A B)^{T}=B^{T} A^{T} \)

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Answer 1

Aloha :)

Für \(A\in  M(m\times n,K)\) und \(B\in M(n\times k,K)\) ist das Matrixprodukt \(AB\in M(m\times k,K)\) definiert. Die transponierte Matrix ist \((AB)^T\in M(k\times m,K)\). Wir betrachten im Folgenden die einzelnen Komponenten der transponierten Produktmatrix. Seien also \(i=1,\ldots,k\) und \(j=1,\ldots,m\), dann gilt:$$((AB)^T)_{ij}=(AB)_{ji}=\sum\limits_{s=1}^nA_{js}B_{si}=\sum\limits_{s=1}^nB_{si}A_{js}=\sum\limits_{s=1}^n(B^T)_{is}(A^T)_{sj}=(B^TA^T)_{ij}$$Da dieser Zusammenhang für alle Komponenten \(((AB)^T)_{ij}\) gültig ist, gilt auch:$$(AB)^T=B^TA^T$$

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Vielen lieben Dank! :)