Beweisen, dass diese Differenz von Wurzeln irrational ist

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Zahl \(2\sqrt{3} − 4\sqrt{5}\) irrational ist.

Problem/Ansatz: ich konnte bereits beweisen das Wurzel 3 und Wurzel 5 irrational sind aber irgendwie weiß ich nicht genau wie ich weiter vorgehen soll.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass die Zahl 2√3 − 4 √5 irrational ist

Stichworte: irrational,quadratische-gleichungen

Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Zahl 2√3 − 4√5 irrational ist

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht wie ich hier vorgehen muss.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass die Zahl 23–√−45–√ irrational ist

Stichworte: irrationale-zahlen

Beweisen Sie, dass die Zahl \( 2 \sqrt{3}-4 \sqrt{5} \) irrational ist

Answer 1

Angenommen,  2√3 − 4√5 wäre rational.

Was hätte das für Konsequenzen für die Art des Terms (rational oder irrational)  2√3 + 4√5, wenn man ihn

a) als Summe von  2√3 − 4√5 und  8√5 betrachtet

b) als Quotient  \( \frac{ (2√3)^2 − (4√5 )^2}{ 2√3 − 4√5 } \)  betrachtet?

Comments

Beim summieren müsste wieder eine Irrationale Zahl entstehen

und beim dividieren ebenfalls.

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Eine deiner beiden Aussagen ist falsch.

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Eine rationale Zahl multipliziert mit einer irrationalen ergibt eine irrationale haben hierfür bereits den Widerspruchs Beweis gemacht.

Beim addieren von einer rationalen zahl mit einer irrationalen entsteht wieder eine irrationale

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Eine rationale Zahl multipliziert mit einer irrationalen ergibt eine irrationale haben hierfür bereits den Widerspruchs Beweis gemacht.

Beim addieren von einer rationalen zahl mit einer irrationalen entsteht wieder eine irrationale

Das ist völlig korrekt. Aber deine Aussage über den Quotienten (unter der Annahme, dass 2√3 − 4√5 rational wäre) ist FALSCH.

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könntest du das eventuell noch etwas ausführen ich verstehe nicht ganz wieso der Quotient wieder irrational ist und weshalb das wichtig ist.

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Hast du den Quotienten schon mit der dritten binomischen Formel vereinfacht?

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...bzw. Hast du den Zähler mal konkret ausgerechnet? Ist er rational oder irrational?

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Nein das hab ich noch nicht jedoch sehe ich den Zusammenhang nicht, wieso ich das an dem Quotienten zeigen soll

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ich den Zusammenhang nicht,

aber ich sehe ihn, deshalb habe ich dir diesen sehr konkreten Hinweis gegeben.

Ich übersetze mal dein Gejammer in Klartext: Du siehst noch nicht, was es nutzt, deshalb weigerst du dich, diese ganz einfache Anleitung "Rechne den Zähler aus" überhaupt in Angriff zu nehmen.

Die gleiche Nummer ziehst du gerade hier

https://www.mathelounge.de/730553/zeigen-sie-das-bruch-keine-positive-zahl-gekurzt-werden-kann

ab.

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ich habe es bereits gemacht aber es darf nichts handgeschriebenes hochgeladen werden auf der Plattform. Des weiteren frage ich dich nicht nach einer Lösung, sondern um den Zusammenhang. Ich habe die Aufgabe bereits auf anderen Weg gelöst indem ich den Term gleich x gestellt habe und annehme das er rational ist. dann wird er so aufgelöst das wurzel 3= dem Rest mit x entspricht. Und den Beweis wieso wurzel 3 irrational ist habe ich bereits gemacht.

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...bzw. Hast du den Zähler mal konkret ausgerechnet? Ist er rational oder irrational?

hi! 
nach benutzender 3. Bin Formel kommt raus 2\( \sqrt{3} \) + 4\( \sqrt{5} \)

also wieder eine Irrationale Zahl...
und da angenommen wurde 2\( \sqrt{3} \) - 4\( \sqrt{5} \)wäre Rational,
hätte wir an der Stelle auch eine Ratinale Zahl, sehe ich das richtig?

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Es geht darum, dass (2√3)² − (4√5 )²=12-80 = -68 und damit garantiert rational ist.

Wenn man das durch den (angenommenen) rationalen Nenner teilt, müsste der Bruch insgesamt auch rational sein. Das widerspricht aber der Tatsache, dass  2√3 + 4√5 als Summe aus der angenommenen rationalen Zahl 2√3 - 4√5 und der irrationalen Zahl 8√5 irrational sein müsste.