Wie ermittel ich hier die Ober und Untergrenze und was geschiet mit den Y werten 1 und 3?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\begin{tabular}{l}
\( y_{1} \) \\
\( \frac{3}{1} y=\frac{1}{4} x^{2} \) \\
\hline
\end{tabular}

Problem/Ansatz:

Ich soll hier den Flächeninhalt berechnen. Ich bin iritiert ich habe noch nie gesehen das keine Ober und Untergrenze gegeben sind aber dafür die y-Werte. Ich vermute das es falsch ist hier die Zahlen 1 und 3 als Ober und Untergrenze zu verwenden.Wie gehe ich hier voran und was mach ich mit der weißen Fläche bei 0 und 1?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst hier einfach über \(y\) integrieren, wenn du die Gleichung nach \(x=\sqrt{4y}\) umstellst:$$F=\int\limits_1^3x\,dy=\int\limits_1^3\sqrt{4y}\,dy=2\int\limits_1^3y^{1/2}\,dy=2\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_1^3=\frac{4}{3}\left[y\sqrt y\right]_1^3=\frac{4}{3}3\sqrt3-\frac{4}{3}$$$$\phantom{F}=4\sqrt3-\frac{4}{3}\approx5,5949$$Das ist dasselbe, wie wenn du die Umkehrfunktion von \(x=1\) bis \(x=3\) integrieren würdest.