Integral Ober und Untergrenze der Bogenlänge bestimmen

Question

Die Bogenlänge s eines Stücks der Kurve mit y = f(x) zwischen x = a und x = b ergibt sich aus:

s = \( \int\limits_{a}^{b} \) \( \sqrt{1+y'^2} dx\)

Berechnen Sie den Umfang der gleichseitigen Astroide, deren Gleichung

x^2/3 + y^2/3 = r^2/3

Lösungsansatz :

habe die untere Gleichung nach y umgeformt und in die Bogenlänge s eingesetzt, nun stellt sich mir die Frage was ich für die Unter und Obergrenze für (a und b) einsetzen soll, kann mit x = a und x = b nichts anfangen.

Answer 1

Ein Lösungsversuch: Beschränke dich zunächst auf den ersten Quadranten. Für \(0<x<r\) gilt$$y^2=\left(r^{\frac23}-x^{\frac23}\right)^3.$$Ableiten liefert$$2yy^\prime=-2y^{\frac43}x^{-\frac13}.$$Daraus folgt$$y^\prime=-\left(\frac yx\right)^{\frac13}$$und daraus$$\sqrt{1+(y^\prime)^2}=\left(\frac xr\right)^{-\frac13}.$$Die gesuchte Bogenlänge berechnet sich nun wg. Symmetrie aus$$L=4\int_0^r\left(\frac xr\right)^{-\frac13}\,\mathrm dx=6r.$$