Aufgabe:
Betrachten Sie für \( K>0 \) die folgende Funktion: $$ f_{K}(x, y)=K\left(x^{2}+y^{3}\right), \quad-1 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1 $$
a) Bestimmen Sie \( K \), so dass \( f_{K} \) die Dichte eines zweidimensionalen Zufallsvektors ist.
Es seien \( X \) und \( Y \) zwei stetige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Dichte gegeben ist durch \( \left.f_{K} \text { aus a }\right) \)
b) Bestimmen Sie die Randverteilung von \( X \) und \( Y \), d.h. berechnen Sie die Dichten von \( X \) und \( Y \), welche gegeben sind durch: $$ f_{X}(x)=\int \limits_{0}^{1} f_{K}(x, y) d y, \quad-1 \leq x \leq 1, \quad f_{Y}(y)=\int \limits_{-1}^{1} f_{K}(x, y) d x, \quad 0 \leq y \leq 1 $$
c) sind \( X \) und \( Y \) unabhängig voneinander?
d) Berechnen Sie \( P(Y<0.5) \) und \( \mathbb{P}(Y<0.5, X<0) \)
