Aufgabe:
Sei \( \left(B_{i}\right)_{i \in \mathrm{N}} \) eine Folge von unabhängigen bernoulliverteilten Zufallsvariablen mit Erfolgsparameter \( p \in(0,1)\left(B_{i} \sim \operatorname{Ber}_{p}\right) . \) Wir definieren für \( k \in \mathbb{N} \)
$$ X_{k}:=\min \left\{n>0: \sum \limits_{i=1}^{n} B_{i}=k\right\}-k $$
Wenn wir \( \left(B_{i}\right)_{\text {ieN }} \) als eine Folge von unabhängigen Versuchen interpretieren, so ist \( X_{k} \) die Zahl der Misserfolge bis zum \( k \) -ten Erfolg. Gilt \( X_{k}=n, \) so bedeutet dies, dass der \( k \) -te Erfolg genau beim \( n+k \) -ten Versuch eingetroffen ist. Wir interessieren uns für die Verteilung von \( X_{k} \) für \( k>0, \) wir wollen den Wert von \( \mathbb{P}\left(X_{k}=n\right) \) herleiten.
a) Man kann anhand der ersten \( n+k \) Versuche, \( \left(B_{1}, \ldots, B_{n+k}\right), \) erkennen, ob das Ereignis \( \left\{X_{k}=n\right\} \) eingetroffen ist oder nicht. Bestimmen Sie \( A \subseteq\{0,1\}^{n+k} \) so dass
$$ \left\{X_{k}=n\right\}=\left\{\left(B_{1}, \ldots, B_{n+k}\right) \in A\right\} $$
b) Sei \( b=\left(b_{1}, \ldots, b_{n+k}\right) \in A \subset\{0,1\}^{n+k} \). Bestimmen Sie \( \mathbb{P}\left(B_{1}=b_{1}, \ldots, B_{n+k}=\right. \)
\( \left.b_{n+k}\right) \)
c) Überlegen Sie sich, wieviele Elemente \( A \) besitzt, und folgern Sie daraus zusammen mit a) und b) den Wert von \( \mathbb{P}\left(X_{k}=n\right) \)
