Verteilung der Zufallsvariablen (Faltung)

Question

Aufgabe:

P(X1 = 0) = 0.4, P(X1 = 1) = 0.3, P(X1 = 2) = 0.2, P(X1 = 3) = 0.1,
P(X2 = 0) = 0.4, P(X2 = 1) = 0.4, P(X2 = 2) = 0.2.

Bestimmen Sie jeweils die Verteilung der Zufallsvariablen
(i) U := X1 + X2,
(ii) V := X1 · X2,

Problem/Ansatz:

Ersteres ist relativ einfach; Faltung. Wie heißt das zweitere und wie rechnet man das?

Answer 1

Sind \(X_1\) und \(X_2\) unabhängig, dann ist

        \(P(X_1 = a \wedge X_2 = b)  = P(X_1=a)\cdot P(X_2) = b\)

laut Definition der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen.

Es gilt

        \(\begin{aligned}P(V=2) &= P((X_1 = 1 \wedge X_2 = 2) \vee (X_1=2\wedge X_2 = 1))\\&=P(X_1=1\wedge X_2 = 2)+P(X_1=2\wedge X_2 = 1).\end{aligned}\)