$$f(x) = x^3 - 3x + 1$$
$$ f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1) $$
Damit findest du schon einmal die Extrema bei x=-1 und x=+1.
Einsetzen in f(x) liefert die Extrempunkte E1(-1|+3) und E2(1|-1).
Die ungefähre Lage der Nullstellen ist nun klar. Es muss drei Nullstellen geben, da E1 oberhalb und E2 unterhalb der x-Achse liegt. Damit liegt eine Nullstelle zwischen den Extrema. Als Startwert bietet sich x=0 an.
Eine zweite Nullstelle liegt links von E1, da die Kurve für \(x^3\) von \(-\infty\) kommt und E1 oberhalb der x-Achse liegt. Als Startwert biete sich x=-2 an.
Die dritte Nullstelle liegt rechts von E2. Die Überlegungen sehen ähnlich wie zur zweiten Nullstelle aus.
Als Startwert ungeeignet sind x=-1 und x=+1, da die Tangenten an der Kurve hier parallel zur x-Achse verlaufen, so dass die Tangenten keine Schnittpunkte mit der x-Achse haben.
Nun musst du noch das Newtonverfahren anwenden, dessen Formel du hoffentlich kennst, und alles mit Matlab lösen.
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PS: Einen guten Überblick über die Lösungen liefert Wolframalpha, allerdings nicht zu Matlab.
