Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes

Question

Aufgabe:

Sei \( X \) eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{F}, P) \).

(a) Die Zufallsvariable \( X \) sei Poisson-verteilt mit Parameter \( \lambda>0 \). Berechnen Sie den Erwartungswert \( E[X] \).

(b) Die Gamma-Funktion ist gegeben durch das uneigentliche Integral

\( \Gamma(t):=\int \limits_{0}^{\infty} x^{t-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \quad(t>0) . \)

(i) Zeigen Sie: Für \( t>0 \) gilt \( \Gamma(t+1)=t \cdot \Gamma(t) \).

(ii) Zeigen Sie: Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt \( \Gamma(n+1)=n \) !.

(iii) Es seien \( \alpha, \nu>0 \). Bestimmen Sie die Konstante \( c_{\alpha, \nu} \), sodass durch

\( f_{\alpha, \nu}(x):=\left\{\begin{array}{ll} c_{\alpha, \nu} \cdot x^{\nu-1} \mathrm{e}^{-\alpha x}, & \text { falls } x>0 \\ 0, & \text { falls } x \leq 0 \end{array}\right. \)

die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes \( P \) auf \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \) definiert wird.

(iv) Die Zufallsvariable \( X \) besitze die Dichte \( f_{\alpha, \nu}(x) \). Bestimmen Sie den Erwartungswert \( E[X] \).

Problem/Ansatz:

ich komme bei b)iii) nicht weiter. Das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich muss 1 sein. Aber selbst wenn ich das c rausziehe und partielle Integration benutze wird die Gleichung immer komplizierter. Kann mir jemand helfen wie ich das Integral lösen könnte?

Answer 1

Hallo

durch fortgesetzte partielle Integration jeweils mit u=x^k, v'=e^-x jeweils e^-x*x^k von 0 bis oo =0

kommst du auf n*(n-1)*  ...*2*1

das muss man evtl durch Induktion  zeigen.

lul

Answer 2

Hallo,

mit Blick auf die Definition der Gamma-Funktion ist es sinnvoll zu substituieren:

\( \int_{\mathbb{R}} f_{\alpha,\nu}(x) \,dx = c_{\alpha,\nu} \cdot \int_0^{\infty}x^{\nu -1}e^{-\alpha x}\, dx \overset{y = \alpha x}{=} c_{\alpha,\nu} \cdot \int_0^{\infty} \frac1{\alpha}\cdot\left(\frac{y}{\alpha}\right)^{\nu -1}e^{-y}\, dy \)

\( = c_{\alpha,\nu} \cdot\frac1{\alpha^{\nu}} \cdot \int_0^{\infty}y^{\nu -1}e^{-y}\, dy = c_{\alpha,\nu} \cdot\frac1{\alpha^{\nu}} \cdot \Gamma(\nu)\)

Jetzt solltest du es hinbekommen, \(c_{\alpha,\nu}\) zu bestimmen.