Aufgabe:
Sei X eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P).
(a) Die Zufallsvariable X sei Poisson-verteilt mit Parameter λ>0. Berechnen Sie den Erwartungswert E[X].
(b) Die Gamma-Funktion ist gegeben durch das uneigentliche Integral
Γ(t) : =0∫∞xt−1e−x dx(t>0).
(i) Zeigen Sie: Für t>0 gilt Γ(t+1)=t⋅Γ(t).
(ii) Zeigen Sie: Für n∈N0 gilt Γ(n+1)=n !.
(iii) Es seien α,ν>0. Bestimmen Sie die Konstante cα,ν, sodass durch
fα,ν(x) : ={cα,ν⋅xν−1e−αx,0, falls x>0 falls x≤0
die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P auf (R,B(R)) definiert wird.
(iv) Die Zufallsvariable X besitze die Dichte fα,ν(x). Bestimmen Sie den Erwartungswert E[X].
Problem/Ansatz:
ich komme bei b)iii) nicht weiter. Das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich muss 1 sein. Aber selbst wenn ich das c rausziehe und partielle Integration benutze wird die Gleichung immer komplizierter. Kann mir jemand helfen wie ich das Integral lösen könnte?