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Aufgabe:

Sei X X eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) (\Omega, \mathcal{F}, P) .

(a) Die Zufallsvariable X X sei Poisson-verteilt mit Parameter λ>0 \lambda>0 . Berechnen Sie den Erwartungswert E[X] E[X] .

(b) Die Gamma-Funktion ist gegeben durch das uneigentliche Integral

Γ(t) : =0xt1ex dx(t>0). \Gamma(t):=\int \limits_{0}^{\infty} x^{t-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \quad(t>0) .

(i) Zeigen Sie: Für t>0 t>0 gilt Γ(t+1)=tΓ(t) \Gamma(t+1)=t \cdot \Gamma(t) .

(ii) Zeigen Sie: Für nN0 n \in \mathbb{N}_{0} gilt Γ(n+1)=n \Gamma(n+1)=n !.

(iii) Es seien α,ν>0 \alpha, \nu>0 . Bestimmen Sie die Konstante cα,ν c_{\alpha, \nu} , sodass durch

fα,ν(x) : ={cα,νxν1eαx, falls x>00, falls x0 f_{\alpha, \nu}(x):=\left\{\begin{array}{ll} c_{\alpha, \nu} \cdot x^{\nu-1} \mathrm{e}^{-\alpha x}, & \text { falls } x>0 \\ 0, & \text { falls } x \leq 0 \end{array}\right.

die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P P auf (R,B(R)) (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) definiert wird.

(iv) Die Zufallsvariable X X besitze die Dichte fα,ν(x) f_{\alpha, \nu}(x) . Bestimmen Sie den Erwartungswert E[X] E[X] .


Problem/Ansatz:

ich komme bei b)iii) nicht weiter. Das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich muss 1 sein. Aber selbst wenn ich das c rausziehe und partielle Integration benutze wird die Gleichung immer komplizierter. Kann mir jemand helfen wie ich das Integral lösen könnte?

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2 Antworten

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Hallo

durch fortgesetzte partielle Integration jeweils mit u=xk, v'=e^-x jeweils e^-x*xk von 0 bis oo =0

kommst du auf n*(n-1)*  ...*2*1

das muss man evtl durch Induktion  zeigen.

lul

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Hallo,

mit Blick auf die Definition der Gamma-Funktion ist es sinnvoll zu substituieren:

Rfα,ν(x)dx=cα,ν0xν1eαxdx=y=αxcα,ν01α(yα)ν1eydy \int_{\mathbb{R}} f_{\alpha,\nu}(x) \,dx = c_{\alpha,\nu} \cdot \int_0^{\infty}x^{\nu -1}e^{-\alpha x}\, dx \overset{y = \alpha x}{=} c_{\alpha,\nu} \cdot \int_0^{\infty} \frac1{\alpha}\cdot\left(\frac{y}{\alpha}\right)^{\nu -1}e^{-y}\, dy

=cα,ν1αν0yν1eydy=cα,ν1ανΓ(ν) = c_{\alpha,\nu} \cdot\frac1{\alpha^{\nu}} \cdot \int_0^{\infty}y^{\nu -1}e^{-y}\, dy = c_{\alpha,\nu} \cdot\frac1{\alpha^{\nu}} \cdot \Gamma(\nu)

Jetzt solltest du es hinbekommen, cα,νc_{\alpha,\nu} zu bestimmen.

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