Hydrostatik Druckberechnung eines Mediums wenn die Dichte nicht konstant ist

Question

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man kann den Druck in einem Medium wie folgt berechnen:

p(z) = g*ρ*z            (z= Höhe)

Wie stellt man die Funktion für den Druck auf wenn auch die Dichte eine Funktion von z ist?

Dichtgradient:       dρ/dz = a = const.

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Sollte eigentlich ziemlich einfach sein ich scheitre trotzdem dran :/

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Kristov

Answer 1

p=g*ρ*z

dρ/dz=a --> ρ=a*z+ρ₀

--> p=g*z*(a*z+ρ₀)

Comments

Leider stimmt deine Antwort nicht. So einfach wie du die Aufgabe gelöst hast funktioniert das nicht.

Das Problem bei deiner Lösung ist das du bei deiner Rechnung nicht berücksichtigst das die Dichte oberhalb von z geringer ist als an der stelle z. Du nimmst mit deiner Formel an das die Dichte überall gleich ist und setzt dann die Dicht am Punkt z ein.

Die Lösung lautet

p(z) = g*(a/2)*z^2 + g*ρ₀*z + p₀

Wie man auf die Lösung kommt kann ich aber leider auch nicht sagen.

Mfg Kristov

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 "Du nimmst mit deiner Formel an das die Dichte überall gleich ist und setzt dann die Dicht am Punkt z ein"

Nein, das nehme ich nicht an, ρ=a*z+ρ₀ ist eine lineare Funktion und nicht konstant.

Ich hab mir das Ganze nochmal angeschaut:

Die Formel für den Druck lautet im allgemeinen p=g*ρ*z+p₀

Wenn man ρ nach meiner Berechnung einsetzt ergibt sich:

p=g*ρ*z+p₀=g*(a*z+ρ₀)*z+p₀=g*(a*z+ρ₀)*z+p₀=g*a*z^2+g*ρ₀*z+p₀

Deine Musterlösung steht zu den von dir gegeben Dichtegradienten im Widerspruch:

p(z)=g*(a/2)*z² + g*ρ₀*z + p₀=g*z*(a/2*z+ρ₀)+p₀

--> ρ(z)=(a/2*z+ρ₀)

dρ/dz=a/2≠a

(Eigentlich steht in der Formel für den Druck noch ein Minus davor, um zu berücksichtigen, dass der Druck in der Tiefe steigt,das häng davon ab, wie ihr euer Koordinatensystem gelegt habt.)

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Ich hab in einen anderen Forum jetzt die Musterlösung bekommen. Deine Lösung hat folgendes Problem:

Wie du richtig geschrieben hast ist die Dichte eine Funktion von z:

ρ(z) = a*z + ρ₀

Der Druck für ein Medium mit konstanter Dichte ist auch wie du richtig geschrieben hast wie folgt definiert:

p(z) = g*z*ρ      mit    ρ= const. Diese Formel gilt nur wenn die Dichte als konstant angenommen werden kann!

Was du versuchst ist jetzt die Funktion der Dichte einfach in die Druckfunktion einzusetzen:

p(z) = g*z*ρ(z)

Hier ist aber der Fehler denn:

Die Funktion ρ(z) gibt dir nur denn wert der Dicht auf der Höhe z wieder. Wenn du die Formel so verwendest rechnest du einfach nur den Dichte auf der Höhe z aus und setzt diese Dichte in die Formel des Druckes ein welche nur gilt wenn die Dichte konstant ist. Als Druck bekommst du jetzt nur den Wert für ein Medium mit der Konstanten dichte von ρ(z).

Die richtige Lösung kann man nur über ein Integral bekommen welches berücksichtigt das die Dicht oberhalb von z nicht konstant ist und dadurch der Druck eine exponentielle Funktion ist. Die Richtige Lösung geht wie folgt:

Die Dichte der Flüssigkeit  Beschreibt einen linearen Verlauf:

ρ(z)=ρ0+a⋅z

Die Druckberechnung ist analog zur barometrischen Druckberechnung.
Wir unterteilen die Flüssigkeit in dünne Scheiben. Da die Scheiben infinitesimal klein sind kann die Dichte als Konstant angesehen Werden.
Das Kräftegleichgewicht in Vertikaler Richtung ergibt:

F_G+F_pO=F_pU

F_G=Gewichtskraft

F_pO=Druckkraft die von oben auf die Scheibe wirkt

F_pU=Druckkraft die von unten auf die Scheibe wirkt

m_K*g + A*p_O = A*p_U

ρ(z) * V_K*g + A*p_O = A*p_U

ρ(z)*A*dz*g + A*p_O = A*p_U     -->Kürzen von A

ρ(z)*dz*g + p_O = p_U                 -->Umstellen

p_U-p_O = ρ(z)*dz*g

dp = (az +ρ₀)*dz*g

dp = (azg +ρ₀g)*dz      --> Damit hat man eine Differentialgleichung die man nur noch lösen braucht.

--->p(z) = (1/2)*a*g*z^2 + ρ₀*g*z + C₁      Mit C₁ = p₀

p(z) = (1/2)*a*g*z^2 + ρ₀*g*z + p₀

 

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Ja, so stimmt es, der Gedanke dass die Formel nur für konstante Dichte ist mir jetzt erst gekommen :)