Zeigen Sie folgende Identität

Question

Aufgabe:

Sei $K$ ein Körper, $m, n \in \mathbb{Z}$ mit $m \leq n$ und, für $m-1 \leq k \leq n+1, a_{k}, b_{k} \in K .$ Zeigen Sie folgende Identität $$\sum \limits_{k=m}^{n} a_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)=a_{m-1} b_{m}-a_{n} b_{n+1}+\sum \limits_{k=m}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right) b_{k}$$

Bemerkung: Diese Indentität wird auch als Abelssche partielle Summation oder kurz als partielle Summation bezeichnet.

Als Anwendung vereinfachen Sie $$\sum \limits_{k=1}^{n} k\left(\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array}\right)\right)$$ bis kein Summenzeichen mehr vorhanden ist.

Answer 1

Suche im Netz unter 'Beweis partielle Summation'. z.B. hier:

https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/iadm/Weidl/analysis2/vorlesu…