Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper, \( m, n \in \mathbb{Z} \) mit \( m \leq n \) und, für \( m-1 \leq k \leq n+1, a_{k}, b_{k} \in K . \) Zeigen Sie folgende Identität $$ \sum \limits_{k=m}^{n} a_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)=a_{m-1} b_{m}-a_{n} b_{n+1}+\sum \limits_{k=m}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right) b_{k} $$
Bemerkung: Diese Indentität wird auch als Abelssche partielle Summation oder kurz als partielle Summation bezeichnet.
Als Anwendung vereinfachen Sie $$ \sum \limits_{k=1}^{n} k\left(\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array}\right)\right) $$ bis kein Summenzeichen mehr vorhanden ist.
