Wie zeige ich die folgende Identität?

Question

Aufgabe:

zeige die folgende Identität

Problem/Ansatz:

2 arccos (x) = arccos(\( 2x^{2} \)-1)

Comments

Diese Formel ist so nicht allgemeingültig.

Daraus ergibt sich, dass auch die Lösungen nicht vollständig sind.

Answer 1

Es gilt cos(2y)=cos²(y)-sin²(y)=cos²(y)-(1-cos²(y)),

also

cos(2y)=2cos²y-1

Hilft dir das weiter?

Answer 2

Definiere f(x)= 2 arccos (x) - arccos(\( 2x^{2} \)-1)

Zeige f ' (x) = 0 für alle x∈ℝ

Und f(0) = 0. Also gilt für alle x   f(x)=0.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Nach den Additionstheoremen gilt:$$\cos(2y)=\cos(y+y)=\cos y\cos y-\sin y\sin y=\cos^2y-\sin^2y$$

Mit dem trigonometrischen Pythagoras \(\,\sin^2y+\cos^2y=1\,\) gilt weiter:$$\cos(2y)=\cos^2y-\underbrace{(1-\cos^2y)}_{=\sin^2y}=2\cos^2y-1$$

Mit \(\,x\coloneqq\cos y\in[-1;1]\,\) bzw. \(\,y=\arccos x\,\) heißt das:$$\cos(2\arccos x)=2x^2-1\quad\big|\arccos(\cdots)$$$$2\arccos x=\arccos(2x^2-1)$$