Im Buch „Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometrie“ von Fukagawa Hidetoshy und Tony Rothmann werden auf Seite 41 folgende Aufgaben gestellt:
(a) Löse das System (1) x·y=1024 (2) x/y+y/x=4,25.
(b) Löse das System (1) x·y=4096 (2) x/y-y/x=3,75.
Hidetoshy und Rothmann lösen auf Seite 42 die Aufgaben folgendermaßen:
In beiden Aufgaben wird Gleichung (2) auf den Hauptnenner gebracht und dieser durch Gleichung (1) ersetzt:
(a) (x^2+y^2)/1024=4,25; (b) (x^2-y^2)/4096=3,75.
Damit erhält man Gleichung (3)
(a) x²+y²=4352; (b) x²-y²=15360
Da an dieser Stelle die Lösungswege voneinander abweichen, wird zunächst der vorgeschlagene Lösungsweg zu (a) dargestellt:
In (x+y)²=x²+2xy+y² wird sowohl (1) als auch (3) eingesetzt:
(x+y)²=4352+2048=6400 und folglich
(4) x+y=80.
Das System:
(1) x·y=1024 (4) x+y=80
führt nach dem Satz von Vieta zu der Suche nach den beiden Lösungen von
t² + 80t + 1024 = 0
nämlich t1=x=64 und t2=y=16.
Im Lösungsweg zu (b) geht es so weiter:
Hier werden (1) und (3) eingesetzt in die Identität (xy)²=x²[x²-(x²-y²)]. und so 16777216=x²(x²-15360) gewonnen. Diese biquadratische Gleichung hat die Lösungen
x12=16384 und x32=-1024. Dann ist x1/2=±128 und y1/2=±32.
Das sind ohne Zweifel trick- und geistreiche Lösungswege, welche dann eine Anerkennung verdient hätten, wenn sie auf geringfügig veränderte Aufgaben angewendet worden wären, z.B.
x·y=20 (2) x/y+y/x=2,05
und
(1) x·y=20 (2) x/y-y/x=0,45
Die Lösungsweg von Hidetoshy und Rothmann hätten sich als genial erwiesen, wären nicht die Sachverhalte 4,25= 1+1/4 bzw. 3,75= 1-1/4 so offensichtlich gewesen.
Aus x/y+y/x=4+1/4 folgt ebenso, wie aus x/y-y/x=4-1/4 unmittelbar x/y=4 bzw. y/x=1/4. Daher ist x=4y und dies in (1) eingesetzt, ergibt in Aufgabe (a) 4y²=1024 und damit y=±16 bzw. x=±64. In Aufgabe (b) ergibt das Einsetzen von x=4y in Gleichung (1) 4y²=4096 und damit y=±32 und x=±128.
Diese Offensichtlichkeit ist in den Aufgaben (A) und (B) nicht gegeben. Ausgehend von gewünschten Lösungspaaren (x|y) hätten sich beliebig viele weitere Aufgaben des gleichen Musters konstruieren lassen, bei denen es der trickreichen und genialen Lösungswege von Hidetoshi und Rothmann tatsächlich bedurft hätte.
Warum wurden ausgerechnet zwei Aufgaben mit offensichtlicher Lösung gewählt?
