Wie lang muss die Seite c mindestens sein, damit der Winkel α spitz

Question

Nun wählen wir \( \Delta \) mit Seitenlängen \( a=\sqrt{20} \) und \( b=2 \)
Wie lang muss die Seite \( c \) mindestens sein, damit der Winkel \( \alpha \) spitz, d.h. \( \alpha<\frac{\pi}{2}, \) ist?

Answer 1

Das kann man z.B. rechnerisch entscheiden:

Wäre der Winkel α ein rechter Winkel, also  α = 90° , so gälte der Satz von Pythagoras in dieser Form:  a² = b² + c² . Mit den vorgegebenen Werten also  20 = 4 + c² .

Zeichne dir mal ein entsprechendes Dreieck. Wie lang ist dabei die Seite c ?

Und in welcher Weise müsste man nun diese Länge von c verändern (unter Beibehaltung der anderen Seitenlängen), damit aus dem rechten Winkel α ein spitzer Winkel wird ?

Comments

\( \frac{π}{2} \) ist ja 90⁰ und α muss a kleiner als 90 grad sein

Answer 2

c > √(a^2 - b^2) = √(20 - 4) = 4

Comments

\( \frac{π}{2} \) ist ja 90⁰ und α muss a kleiner als 90 grad sein

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Genau und daher muss c auch größer als 4 sein und darf nicht 4 sein.

Answer 3

Hallo,

mache Dir ein Zeichnung:

Der Winkel \(\alpha\) (blau) soll kleiner \(\pi/2 = 90°\) sein. Dazu muss die Seite \(c=|AB|\) länger sein als die waagerechte Kathete im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle AB_{\min}C_{\min}\). Also $$c \gt \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{20 - 4} = 4$$