Kann man die Gleichung 5 = 15t*e^(-0.4t) irgendwie sinnvoll rechnerisch lösen?

Question

Aufgabe:

Lösen der Gleichung 5 = 15t*e^(-0.4t)

Problem/Ansatz:

Kann man die Gleichung oben irgendwie lösen? Ich habe leider keine Ahnung, wie ich die Summe beseitige... Oder gibt es nur eine näherungsweise Lösung bzw. eine graphische?

Ich komme irgendwie nicht weiter. Das ist mein bisheriger Ansatz:

5 = 15t*e^(-0.4t)    |:15

1/3= t*e^(-0.4t)      |ln

ln(1/3)=ln(t)+(-0.4t)

Aber jetzt finde ich keine sinnvolle Art weiterzuarbeiten, außer das Ganze graphisch oder näherungsweise zu lösen.

Stehe ich irgendwie auf dem Schlauch?

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!

Answer 1

Mit normalen Mitteln geht das nicht,weil die unabhängige Variable -hier t-einmal im Exponenten steht und einmal nicht.

kein Ingenieur rechnet so was in Handarbeit

Lösung mit meinem Graphikrechnen (GTR,Casio)

t1=0,3895.. t2=7,9200..

In Handarbeit löst man das durch probrieren und dann wendet man einer der beiden Näherungsformeln an

Newton (Tangentenverfahren) ,Regula falsi (Sehenverfahren)

Hier Infos,vergrößern und/oder herunterladen

~plot~15*x*e^(-0,4*x)-5;[[-10|10|-10|10]];x=0,389;x=7,92~plot~

Comments

Vielen lieben Dank! Das ist sehr hilfreich =)

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kein Ingenieur rechnet so was in Handarbeit

Mal wieder eine absolut sinnlose Aussage.

Answer 2

Analytisch geht das nicht, Verwende ein Näherungsverfahren z.B. Newton

Comments

Ok, danke! Das hatte ich vermutet, aber manchmal denke ich dann, ich bin vielleicht nur blind und übersehe etwas... =)

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Du warst nicht blind.

In Textaufgaben für Schüler steht dann meistens "bestimmen sie näherungsweise den Wert für t". Damit die Schüler wissen, das das wohl nicht exakt zu machen ist.

Je nach dem der die Aufgabe geschrieben hat entfällt manchmal leider auch das näherungsweise.

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Vielen Dank! Das stand leider nicht in der Aufgabe. Deshalb hatte ich überhaupt versucht, es analytisch zu lösen.

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Das ist immer das selbe Elend.

Die Pauker geben den Schülern diese Aufgaben auf und wissen genau,dass solche Aufgaben mit normalen Mitteln gar nicht lösbar sind.

Ein Pauker schrieb mal,dass er 72000 Euro Jahreseinkommen bei´m Finanzamt angibt.

Die Pauker sind ihr Geld nicht wert.

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Die Pauker geben den Schülern diese Aufgaben auf und wissen genau,dass solche Aufgaben mit normalen Mitteln gar nicht lösbar sind.

Näherungsverfahren sind normale Mittel und die werden in der Regel auch im Unterricht besprochen.

Dabei konzentriert man sich in der Schule auf das

* Intervall-Schachtelungsverfahren oder das

* Newton-Verfahren.

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Die Pauker geben den Schülern diese Aufgaben auf

Wer sagt denn, dass diese Aufgabe überhaupt gestellt worden ist ?

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Haben mir Schüler schon oft geschrieben.

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Haben mir Schüler schon oft geschrieben.

Schüler erzählen auch viel wenn der Tag lang ist. Das schönste im Nachhilfe unterricht. Prozentrechnung? Wie geht das? Das hatten wir nie im Unterricht gemacht.

Und das in der 12. Klasse.

Ok. Es ist klar das die Leute nicht in der Nachhilfe wären, wenn sie alles perfekt könnten. Aber das Prozentrechnung nicht in der Schule durchgenommen wurde kann nicht sein. Irgendwann hat man das bestimmt mal im Laufe der 12 Klassen gemacht. Meistens sogar mehrfach.

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Was ich meine ist :
Vielleicht sollte nur die Anzahl der Lösungen in einem Intervall oder die Anzahl aller Lösungen oder sogar nur die Lösbarkeit der Gleichung überhaupt untersucht werden und der Fragesteller hat erst hineininterpretiert, dass numerische Werte ermittelt werden sollen.

Answer 3

Hallo,

es gibt durchaus eine Funktion, mit deren Hilfe man die Gleichung \(5 = 15 t\cdot e^{-0,4t}\) so umstellen kann, dass \(t\) isoliert wird. Das ist die sogenannte Lambertsche W-Funktion. Ich substituiere zunächst $$x = -0,4t \implies t = - \frac 52 x$$Einsetzen in die Ausgangsgleichung und Umformen gibt dann $$\begin{aligned}5 &= - \frac 52  \cdot 15x e^x \\ - \frac 2{15}&= xe^x  \\ x &= W\left(- \frac 2{15}\right) \\ t &=  - \frac 52 W\left(- \frac 2{15}\right) \end{aligned}$$Da sieht man dann auch gleich, dass es zwei Lösungen gibt, da die W-Funktion sich im negativen in einen oberen und einen unteren Ast aufteilt. Es ist \(t_1 \approx 0,38954\) und \(t_2 \approx 7,9200\).

siehe auch Wolfram Alpha.

Comments

Von der habe ich tatsächlich noch nie gehört. Über Wolfram Alpha hatte ich es tatsächlich auch versucht und mich über das W gewundert, aber ich wusste nicht, worauf es sich bezieht. Wird das beim Pro-Account näher erläutert? Es wurde nämlich keine Rechnung/Herleitung gezeigt, sondern nur eine graphische Lösung. Ich danke auf jeden Fall sehr für den zusätzlichen Hinweis und überhaupt für die geniale Hilfe!

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Wird das beim Pro-Account näher erläutert?

das ist mir nicht bekannt.

Es wurde nämlich keine Rechnung/Herleitung gezeigt, sondern nur eine graphische Lösung

Ein Computer muss dazu natürlich genauso eine iterative (Näherungs-)Lösung berechnen, wie bei einer Sinus- oder Logarithmus-Funktion.

Answer 4

Oder noch eine andere Möglichkeit just for fun, um Näherungslösungen zu bekommen:

\(f(x)=15x\cdot e^{-0.4x}\quad f'(x)=e^{-0.4x}\cdot (15-6x)\)

Es gilt für sehr kleine Werte von x: \( e^x\approx 1+x\). (Tangente im Punkt x=0)

Also gilt auch für sehr kleine Werte von x: \(15x\cdot e^{-0.4x}\approx 15x(1-0.4x)\)

Wir lösen nun damit \(5=15x(1-0.4x) \). Damit hat man \(x_1\approx 0.396 \) und \(x_2\approx 2.104\). Warnung! Bitte hinterher immernoch testen, welche davon halbwegs sinnvoll sind, denn ich habe mit einer Näherungsfunktion gearbeitet, die nur für geringe Werte von x anwendbar ist.

Hier wäre es \(x_1\).

Für die zweite Lösung benutze ich wieder eine Tangente bei x=8:

\(f(x)\approx f(0)+f'(8)\cdot (x-8)\approx 4.891-1.345\cdot (x-8)\stackrel{!}{=}5\), also \(x_3\approx 7.919 \). Also lösen \(x_1\) und \(x_3\) die Aufgabe näherungsweise.