Überprüfe, ob die folgenden Mengen einen Untervektorraum bilden

Question

Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengen mit der Addition und der Multiplikation mit Skalaren einen Untervektorraum bilden:

a) Die Menge ℝ[x] _{= 2} := {ax² + bx + c | a,b,c ∈ℝ, a ≠ 0} ⊂ ℝ[x],

b) Die Menge R = {A∈M (2 x 2; ℝ) | A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \) mit a,b,c ∈ℝ} ⊂ M ( 2 x 2; ℝ).

ich wäre dankbar wenn mir jemand den Lösungsweg zeigen kann. Vielen Dank im voraus!

Answer 1

a) kein Unterraum; denn die Polynome x^2 und -x^2 gehören dazu, deren Summe aber nicht.

b) Das ist ein Unterraum von M( 2 x 2; ℝ) ; denn es ist nicht leer ( Die 0-Matrix gehört dazu.)

und ist abgeschlossen gegenüber der Addition  und der Multiplikation mit Skalaren . Z.B. bzgl

Addition zeigst du so: Sind M und N Elemente von R, dann gibt es a,b,c,d,e,f aus ℝ mit

N =   a   b      und      M =   d    e   
        0    c                           0    f

und die Summe der beiden ist auch von diesem Typ. Denn es gibt x,y,z aus ℝ mit

N+M =    x    y
               0    z          und zwar ist

x=a+d und y= b+e    und z = c+f.

In der Art zeige auch  Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation mit Skalaren

Comments

Hallo,

kannst du bitte a) nochmal genauer erklären? Verstehe es grad irgendwie nicht ganz mit dem Beispiel

---

Es sind 1*x^2 + 0*x + 0 und -1*x^2 + 0*x + 0

in der gegeben Menge ( einmal mit a=1 und b=0 und c=0

und dann mit  a=-1 und b=0 und c=0 )

Bei der Summe wären aber a,b,c alle = 0 , was nach der

Def. nicht sein darf. Also ist die Summe

nicht in der  gegeben Menge ; deshalb ist sie kein Unterraum.

---

Aber das Gesamtergebnis wäre einfach Null, aber nicht a = 0 oder?