Grenzwert berechnen von an:= (1+2+...+n)/n^2

Question

Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Zahlenfolge ( a_n )_n∈ℕ :

 

a_n = $$\frac { 1+2+3+...+n }{ { n }^{ 2 } } $$

Wenden sie ggf. Die Definition eines Grenzwertes bzw.  geeignete Grenzwertsätze an .

 

Pleeasee Help! 

Answer 1

Es ist $$1+2+3+...+n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}$$.

Damit ist $$\frac{1+2+3+...+n}{n^2} = \frac{ n \cdot (n+1) }{2 \cdot n^2}$$

und $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot (n+1)}{2 \cdot n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 + n}{2 \cdot n^2}$$

$$ = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$$

Comments

Könntest du den Anfang erklären? :-)

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Dass 1+2+3+...+n = 1/2 * n * (n+1) ist ? Das kann man leicht mit vollständiger Induktion zeigen. Ansonsten gucke bei Wikipedia nach Gaußscher Summenformel, da gibt es auch andere Beweise.

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Wie kommt man von der vorletzten auf die letzte zeile???