Beschränkte Teilmengen, welche Supremum und Infimum nicht annehmen.

Question

Aufgabe:

1.) Gebe eine beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen an, welche ihr Supremum und Infimum nicht annimmt?

2.) Gibt es eine beschränkte endliche Teilmenge der reellen Zahlen, welche ihr Supremum und Infimum nicht annimmt?

Problem/Ansatz:

1.) Ich habe mir hier folgende Menge überlegt M := {x ∈ ℚ | x^2 ≤ 3}. Diese Menge müsste ja nun ihr Infimum bei -√(3) und ihr Supremum bei √(3) haben. Da diese Zahlen allerdings nicht in ℚ enthalten sind müsste M also eine beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen sein, welche ihr Supremum und Infimum nicht annimmt.

2.) Hier bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehen kann. Ich habe die Vermutung, dass es nicht möglich ist eine solche Teilmenge anzugeben, aber wie kann ich dies konkret zeigen und beweisen?

Sind meine bisherigen Überlegungen korrekt? Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Bei 1 könntest du auch statt ≤ einfach < schreiben und sogar alle Werte aus

ℝ zulassen.

2. Jede endliche Teilmenge von ℝ besitzt ein Maximum und ein Minimum, das

sind zugleich Inf und sup.