Stetigkeit einer Kostenfunktion —> Wie lauten die Konstanten?

Question

Ich habe ein Problem bei einer Aufgabe zur Stetigkeit und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte.

Die Aufgabe: Eine Kostenfunktion K:[0;300]—>ℝ ist definiert durch

            4x^2+5x+a,   für 0≤ x ≤100

K(x)=   2x^2+10x+b, für 100< x ≤ 200

            500x+c,         für 200< x ≤ 300

Wie lauten die Konstanten a,b,c, falls die Fixkosten 500 GE betragen und K stetig ist?

Kann mir jemand bitte helfen? Ich weiß leider nicht ganz genau, was ich machen muss:/

Answer 1

a = 500 → fixe kosten

Ansonsten musst du die Funktionswerte an den Schnittstellen gleichsetzen.

2·100^2 + 10·100 + b = 4·100^2 + 5·100 + 500 --> b = 20000

500·200 + c = 2·200^2 + 10·200 + 20000 --> c = 2000

Comments

Ansonsten musst du die Funktionswerte an den Schnittstellen gleichsetzen.

Was genau meinen sie damit?

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Die Übergänge sind bei x = 100 und x = 200.

Du siehst vielleicht das ich 100 in beide Funktionsterme eingesetzt haben, die an diese Stelle anliegen.

Answer 2

            4x^2+5x+a,  für 0≤ x ≤100
K(x)=  2x^2+10x+b, für 100< x ≤ 200
            500x+c,        für 200< x ≤ 300

An der Nahtstelle x = 100 zwischen der 1. und 2.
Teilfunktion gilt ( bei Stetigkeit )

Allgemein
4x^2+5x+a  = 2x^2+10x+b
x = 100
4*(100)^2+5*100+a,  = 2*(100)^2+10*100+b
a + 40500 = b + 21000
Dassselbe macht du mit der 2. und 3.Teilfunktion

Jetzt gibt es noch die Schwierigkeit das du 3 Unbekannte
und nur 2 Gleichungen hast
Hier hilft die Aussage
Wie lauten die Konstanten a,b,c, falls die Fixkosten 500 GE betragen

Ist x = 0 der 1.Teilfunktion           
4x^2+5x+a,  für 0≤ x ≤100
Fixkosten sind die Kosten bei x = 0
4 * 0^2 + 5*0 + a = 500
a = 500
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Sollte lösbar sein.
Ansonsten siehe die Antwort beim Coach.

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

Comments

4*(100)2+5*100+a,  = 2*(100)2+10*100+b
a + 40500 = b + 21000
Dassselbe macht du mit der 2. und 3.Teilfunktion

Was genau haben sie da gemacht?

Könnten sie mir bitte noch ein mal vorrechnen wie man b und c raus kriegt damit ich es nachvollziehen kann?

Mit freundlichen Grüßen

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Damit Stetigkeit zwischen der 2 und der 3. Teilfunktion müssen die Funktionswerte an der Stelle x = 200 übereinstimmen.

2*x^2+10*x+b = 500x+c
x = 200 einsetzen
2*(200)^2+10*(200)+b = 500*(200)+c

Oben hatten wir schon
a + 40500 = b + 21000  und a = 500
41000 = b + 21000
b = 20000

b einsetzen
2*(200)^2+10*(200)+b = 500*(200)+c
2*(200)^2+10*(200)+20000 = 500*(200)+c
c = 2000

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Vielen dank habs verstanden!

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Gern geschehen.

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Warum soll a = 500 sein? Man könnte auch b= 500 oder c=500 setzen, oder?

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Hallo Andreas,
falls nichts produziert wird ist x = 0
und es gilt die 1.Teilfunktion
4x^2+5x+a  für x = 0
a
Nichts wird produziert aber die (Fix)Kosten
sind 500 also
a = 500