Aufgabe:
a) Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Geben Sie entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(i) Für jede Zufallsvariable \( X \) mit Werten in \( [0, \infty] \) gilt: Aus \( \mathbb{E}[X]<\infty \) folgt \( \mathrm{P}(X<\infty)=1 \)
(ii) Es seien \( X, Y \) zwei reellwertige Zufallsvariablen mit endlichen ersten Momenten, dass heißt mit endlichen Erwartungswerten.
Dann folgt aus \( \mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y], \) dass \( \mathbb{P}(X=Y)=1 \)
(iii) Es seien \( X, Y \) zwei reellwertige Zufallsvariablen mit endlichen ersten Momenten.
Dann folgt aus \( \mathbb{E}[|X-Y|]=0, \) dass \( \mathbb{P}(X=Y)=1 \)
Hinweis: Man nennt den Erwartungswert einer Zufallsvariable auch erstes Moment.
b) Sei \( X \) eine nicht-negative Zufallsvariable. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(i) \( \mathbb{E}[X]<\infty \) gilt genau dann, wenn
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(X \geq k)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot \mathbb{P}(k \leq X<k+1)<\infty \)
(ii) \( \operatorname{Nimmt} X \) Werte in \( \mathbb{N}_{0} \) an, so gilt
\( \mathbb{E}[X]=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(X \geq k) \)
