Beweis: (MB (φ))^k = MB (φ^k)

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \) -Vektorraum mit Basis \( B:=\left\{b_{1}, \ldots, b_{n}\right\} \) und \( \varphi \) ein Endomorphismus in \( V \) mit Darstellungsmatrix \( M_{B}(\varphi) . \) Beweisen Sie, dass

$$ \left(M_{B}(\varphi)\right)^{k}=M_{B}\left(\varphi^{k}\right) $$
für \( k=1, \ldots, n \) gilt.

Wie beweise ich das?

Answer 1

Aus meiner Sicht hast du zwei Möglichkeiten:

1.) Wenn ihr folgendes schon gezeigt habt, dann ist dein Beweis zur obigen Aussage ein Einzeiler:

Für \(\mathbb{K}\)-Vektorräume \(U,V\) und \(W\) mit Basen \(\mathcal{A},\mathcal{B}\) und \(\mathcal{C}\) sowie mit zwei linearen Abbildungen \(\varphi:\ U \rightarrow V \) und \(\psi:\ V\rightarrow W \) gilt:

\( \qquad \qquad \qquad  M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}(\psi\circ \varphi) = M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(\psi)\cdot M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(\varphi) \).

2.) Erstelle dir ein kommutatives Diagramm in dieser

https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix#/media/Datei:Diagram_for_transformation_matrix_of_composition.svg

Dabei hast du eben nur \(V\) überall einzusetzen, weil du hier nur mit diesem arbeitest. Dann kannst du damit Induktiv deine Behauptung folgern.

Comments

also:

zu 2) Weil das folgende Diagramm kommutativ ist und daher mit Zusammensetzungen von Endomorphismen kompatibel ist, die die Quadrate nebeneinander bilden (insbesondere mit φ∘φ). Hier: B: V → K^n identifiziert V mit K^n durch Identifizieren von bi mit ei = (0,0, ..., 1, ..., 0). Wenn man diese Quadrate zusammensetzt, erhält man das gewünschte Ergebnis?

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ist das so akzeptabel?

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Um das deutlicher zu machen, was du meinst, kannst du ja noch so ein Quadrat als Andeutung ansetzen:

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Vielen Dank! Jetzt ist es mehr nachvollziehbar.

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Hallo,

könntest du bitte bei 1) eventuell das vollständig zeigen?

LG

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Dazu kannst du analog wie oben in meinem letzten Post vorgehen:

Nutze dann die Assoziativität der hier verwendeten Multiplikation. Durch die beliebige, aber feste, Wahl der Basen, folgt damit die Eindeutigkeit der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung (zueinander isomorph!).

Answer 2

Das lässt sich mittels vollständiger Induktion über k zeigen.