Aufgabe:
Es sei X = \( \begin{pmatrix} X1\\X2\\X3 \end{pmatrix} \) ∈ R^3 mit Erwartungswert μ = \( \begin{pmatrix}3\\2\\1 \end{pmatrix} \) und Covarianzmatrix
∑x = \( \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Finde A∈R^(3x3), sodass die Komponenten des Vektors Y = AX unabhängige Zufallsvariablen sind.
Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass bei Transformation Y normalverteilt bleibt. Mit μ = A*μ und Σ = A*Σ*A^T
Jetzt dachte ich, dass ich zunächst A finde, dass Σ(Y) eine Diagonal-matrix ist (Mittels Diagonalisieren und gram schmidt). Danach weiß ich, dass Y mit der Transformation mittels A unkorreliert ist. Nur leider kann ich damit noch nicht auf Unabhängigkeit der Zufallsvariablen schließen. Oder ist das doch möglich, weil Y normalverteilt ist?
Vielen Dank im Voraus!
