Geben Sie einen Vektor an, der linear abhängig von den beiden Vektoren ist. Geben Sie die Komponenten des Vektors an.

Question

Aufgabe 1:

Gegeben sind die Vektoren \( \left(\begin{array}{r}-8 \\ 2 \\ -2\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{r}-6 \\ -3 \\ 1\end{array}\right) \)

Geben Sie einen Vektor an, der linear abhängig von den beiden Vektoren ist. Geben Sie die Komponenten des Vektors durch Kommata getrennt an.

Aufgabe 2:

Gegeben sind die Vektoren \( \left(\begin{array}{r}-9 \\ 4 \\ -5\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{r}2 \\ 9 \\ -6\end{array}\right) \)

Geben Sie einen Vektor an, der linear unabhängig von den beiden Vektoren ist. Geben Sie die Komponenten des Vektors durch Kommata getrennt an.

Answer 1

abhängig von den beiden anderen Vektoren ist ein Vektor, wenn er sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben lässt, hier zum Beispiel:

1/2 * (-8, 2, -2) + (-6, -3, 1) =

(-10, -2, 0)

Unabhängig von den beiden anderen Vektoren ist ein Vektor, wenn er sich nicht als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben lässt, hier können wir zum Beispiel

statt (-9, 4, -5) + (2, 9, -6) = (-7, 13, -11) | dieser Vektor wäre linear abhängig

nehmen:

(-7, 13, 2)

Besten Gruß

Answer 2

zu 1:  Nimm doch einfach die Summe der beiden.

zu 2:  Am einfachsten ist das Vektorprodukt der beiden.
wenn du das nicht kennst, kannst du auch die beiden
addieren, gibt (-7 , 13 ; -11 )
und jetzt änderst du z.B. die 3. Kompionente etwa
(-7 , 13 ; 10  )

Der ist davon lin. unabh. denn wenn du ihn durch

die zwei darzustellen versuchst, brauchst du a=b=1

damit die ersten beiden Komponenten stimmen, aber die

3. stimmt dann eben nicht.

Answer 3

[-8, 2, -2] + [-6, -3, 1] = [-14, -1, -1] ist linear abhängig

[-14, -1, 0] ist linear unabhängig

[-9, 4, -5] + [2, 9, -6] = [-7, 13, -11] ist linear abhängig

[-7, 13, 0] ist linear unabhängig

Comments

^{Wäre zum Beispiel bei dem zweiten Bild auch 0,0,1 gegangen? Die sind ja auch linear unabhängig von den beiden anderen Vektoren?}

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Ja, das wäre auch gegangen:

-9 + 4,5 * 2 = 0

aber

4 + 4,5 * 9 = 44,5 ≠ 0

und schon haben wir die lineare Unabhängigkeit festgestellt und brauchen die 3. Koordinate gar nicht mehr zu überprüfen.

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Wenn du das so sehen kannst das [0, 0, 1] linear unabhängig ist dann geht das. Manchmal kann man das aber nicht so ohne weiteres sehen.

[1, 2, 3] und [1.5, 3, 4]

Was meinst du ist hier [0, 0, 1] linear abhängig oder unabhängig ?

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Linear unabhängig hätte ich jetzt gesagt.

Aber ich halte mich an eure Antworten :)

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Eben. Man kann das nicht sehen. Berechne mal

3·[1, 2, 3] -2·[1.5, 3, 4] = ...

Jetzt siehst du das die linear abhängig sind. Es ist also immer einfacher von einem Vektor auszugehen von dem man weiß das er linear abhängig ist.

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Das stimmt allerdings.

Also ich gebe beim ersten Bild -14;-1,-1 an

Und beim zweiten Bild -7,13,0

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Genau. So hätte ich das gemacht.